а. Формула преобразования полей \(\vec E\) и \(\vec B\) при движении их со скоростью \(\vec\beta c\) имеет следующий вид:
\[ \vec E'=\vec E_\parallel+\gamma(\vec E_\perp-[\vec\beta\times\vec B]),\qquad \vec B'=\vec B_\parallel+\gamma(\vec B_\perp+[\vec\beta\times\vec E]),\qquad \gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}, \]где \(\vec E'\) и \(\vec B'\) — электрические и магнитные поля в сносе; \(\vec E_\parallel\), \(\vec E_\perp\) и \(\vec B_\parallel\), \(\vec B_\perp\) — составляющие электрических и магнитных полей, параллельные и перпендикулярные \(c\vec\beta\) в начальной системе. Движение полей \(\vec E'\) и \(\vec B'\) со скоростью \(-c\vec\beta\) возвращает прежнее состояние. Проверьте это.
в. Используя приведённые в пункте а формулы преобразования полей, решите задачи 14.3.1–14.3.3, 14.3.5\(^*\).
г. Используя приведённые в пункте а формулы преобразований полей, решите задачи 14.3.6 а, б и 14.3.7.
д. Докажите, что при \(\beta\to1\) поля \(\vec E'\) и \(\vec B'\) перпендикулярны.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Обозначим снос на \(+\beta\) как \((E,B)\to(E',B')\). Снос \((E',B')\) на \(-\beta\):
\[ E_\parallel''=E_\parallel',\qquad E_\perp''=\gamma\bigl(E_\perp'-[(-\vec\beta)\times B']\bigr)=\gamma\bigl(E_\perp'+[\vec\beta\times B']\bigr). \]Подставляем \(E_\perp'=\gamma(E_\perp-[\beta\times B])\), \(B_\perp'=\gamma(B_\perp+[\beta\times E])\), \(B_\parallel'=B_\parallel\). Учитывая \(\gamma^2(1-\beta^2)=1\) и \([\beta\times[\beta\times E_\perp]]=-\beta^2 E_\perp\), получаем \(E_\perp''=E_\perp\), \(E_\parallel''=E_\parallel\). Аналогично \(B''=B\). Обратное преобразование есть прямое с \(v\to-v\).
в. 14.3.1: \(B=0\), \(E_\perp=E\), \(E_\parallel=0\) → \(E'=\gamma E\), \(B'=\gamma\beta E\). 14.3.2: разложение на \(\parallel\) и \(\perp\). 14.3.3: поле нити чисто поперечное. 14.3.5: сначала находим \(E,B\) исходного провода, потом снос на \(\beta_1\).
г. 14.3.6: \(E=0\), заряд не действует → после сноса \(E'=-\gamma[\beta\times B]\); при \(\beta\ll1\) \(\gamma\approx1\). 14.3.7: \(B=0\) → \(B'=\gamma[\beta\times E]\); при \(\beta\ll1\) \(\gamma\approx1\).
д. При \(\beta\to1\) \(\gamma\to\infty\), доминируют поперечные куски:
\[ E'\sim\gamma(E_\perp-[\beta\times B]),\qquad B'\sim\gamma(B_\perp+[\beta\times E]). \]Их скалярное произведение \(E'\cdot B'=\gamma^2\bigl(E_\perp\cdot B_\perp-[\beta\times B]\cdot B_\perp+E_\perp\cdot[\beta\times E]+O(1/\gamma^0)\bigr)\). Но \(E\cdot B=E_\parallel B_\parallel+E_\perp\cdot B_\perp\) — инвариант, и прямым раскрытием \(E'\cdot B'=E\cdot B\). При \(\beta\to1\) конфигурация становится «волновой»: \(E'\perp B'\) и \(|E'|=|B'|\), если исходный инвариант \(E\cdot B=0\) (чисто \(E\) или чисто \(B\)). Даже если \(E\cdot B\neq0\), отношение \((E'\cdot B')/(|E'||B'|)\) стремится к нулю, потому что \(|E'|\) и \(|B'|\) растут как \(\gamma\), а \(E'\cdot B'\) остаётся конечным. Итак, при \(\beta\to1\) поля \(E'\) и \(B'\) перпендикулярны.
Выпишем преобразование на числах. Пусть \(\vec\beta=0{,}6\,\hat x\), \(\gamma=1{,}25\), и в исходной системе чисто поперечные поля \(E=E\hat y\), \(B=0\). Тогда \(E_\parallel'=0\), \(E_\perp'=\gamma E=1{,}25\,E\), \(B_\parallel'=0\), \(B_\perp'=\gamma\beta E=0{,}75\,E\). Инварианты садятся сразу: \(\mathbf{E}'\cdot\mathbf{B}'=0=\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}\) и \(E'^2-B'^2=\gamma^2(1-\beta^2)E^2=E^2\). Если добавить продольное \(E_x\), оно пройдёт без \(\gamma\): \(E_x'=E_x\), и оба инварианта по-прежнему держатся — продольный кусок входит в \(E^2\) и в \(E\cdot B\) одинаково до и после.
Надёжная проверка: \(B=0\), \(E=E\hat y\). Тогда \(E'=\gamma E\), \(B'=\gamma\beta E\), \(E'^2-B'^2=\gamma^2(1-\beta^2)E^2=E^2\). Обратный снос на \(-\beta\) обязан вернуть исходное — это пункт а. При \(\beta\to1\) доминируют поперечные \(\gamma\)-куски, \(E'\perp B'\) даже если исходный \(\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}\) конечен: числитель инварианта стоит на месте, знаменатель \(|E'||B'|\) растёт как \(\gamma^2\).