а. При движении со скоростью \(\vec\beta c\) состояния, в котором было только электрическое поле, возникает магнитное поле с индукцией \(\vec B\), связанное с новым электрическим полем \(\vec E\) соотношением \(\vec B=[\vec\beta\times\vec E]\). Докажите это соотношение в случае, когда поле \(\vec E\) перпендикулярно скорости \(\vec\beta c\).
б. Какое магнитное поле возникает при движении со скоростью \(\vec\beta c\) электрического поля напряжённости \(\vec E\), если \(\beta\ll1\)? если \(\beta=1\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Пробное тело — прямой проводник, перпендикулярный и \(\vec E\), и \(\vec\beta\). В исходном состоянии он нейтрален: плотность электронов \(-\rho\), ионов \(+\rho\), электроны бегут со скоростью \(\beta c\). Поле \(E\) на него не действует (суммарный заряд нуль), проводник не ускоряется.
Сносим состояние со скоростью \(-\beta c\). Электроны останавливаются, ионы едут со скоростью \(-\beta c\). Плотности: электроны \(\rho/\gamma\), ионы \(\gamma\rho\). Проводник заряжен с линейной плотностью \(\lambda=\beta^2\gamma\rho\) (на единицу длины). Сила со стороны нового \(E\) (поле по-прежнему поперёк) равна \(\lambda E\) наружу.
Но проводник по условию не ускоряется — это то же инерциальное состояние. Значит, магнитная сила тока компенсирует электрическую:
\[ \frac{IB}{c}+\beta^2\gamma\rho E=0,\qquad I=-\gamma\rho\beta c, \]откуда \(B=\beta E\) и в векторном виде \(\vec B=[\vec\beta\times\vec E]\).
б. При \(\beta\ll1\) новое \(E'\) близко к старому \(E\), поэтому \(\vec B\simeq[\vec\beta\times\vec E]\). При \(\beta\to1\) поля \(E'\) и \(B'\) становятся равны по величине и перпендикулярны (см. 14.3.8д): ультрарелятивистский снос превращает любое чисто электрическое поперечное поле в волновую конфигурацию \(B=E\).
Дуальный близнец 14.3.6. Было чистое \(E\perp\vec\beta\), \(B=0\). Формула \(B_\perp'=\gamma(B+[\vec\beta\times\mathbf{E}])_\perp\) даёт \(B'=\gamma\beta E\). При \(\beta=0{,}6\), \(\gamma=1{,}25\) имеем \(B=0{,}75\,E\), а новое \(E'=\gamma E=1{,}25\,E\). Инвариант \(E^2-B^2=E_0^2>0\) держится; \(\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}=0\). При \(\beta\to1\) отношение \(B'/E'\to1\): любое поперечное электростатическое поле после ультрарелятивистского сноса неотличимо от куска плоской волны.
Пробный проводник с током после сноса заряжается (14.3.4), и электрическая сила \(\lambda E'\) обязана быть убита магнитной \(IB'/c\). Отсюда то же \(B'=\beta E'\). При \(v\ll c\) достаточно \(B\approx[\vec v\times\vec E]/c\) без \(\gamma\). Направление: \(\beta\parallel\hat x\), \(E\parallel\hat y\), \(B\parallel\hat z\) — правая тройка бегущей волны.