а. Пусть имеются неподвижный заряд и магнитное поле, которое на этот заряд не действует. При движении этого состояния со скоростью \(\beta c\) заряд будет двигаться со скоростью \(\beta c\). Сила, действующая на заряд в новом состоянии, равна нулю из-за того, что кроме магнитного поля на заряд действует возникающее при сносе электрическое поле. Определите, пользуясь условием равновесия сил, действующих на заряд, связь в новом состоянии индукции магнитного поля \(\vec B\) с электрической напряжённостью \(\vec E\).
б. Какое электрическое поле возникает при движении со скоростью \(\beta c\) магнитного поля с индукцией \(B\), если \(\beta\ll1\)?
в. На рисунке изображён постоянный магнит с индукцией \(\vec B\), движущийся, как утверждает экспериментатор 1, мимо него со скоростью \(\vec\beta c\), так как он обнаружил по действию на заряд \(q\) электрическое поле \(\vec E=-[\vec\beta\times\vec B]\). Однако экспериментатор 2, сидящий на магните, утверждает, что у магнита нет никакого электрического поля и он неподвижен, а сила на заряд \(q\) — магнитная. Кто из них прав?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. После сноса заряд имеет скорость \(\vec\beta c\), на него действует магнитная сила \(q[\vec\beta\times\vec B]\) (в СГС — \(q[\vec\beta\times\vec B]\), без лишнего \(1/c\), если \(\beta=v/c\) уже безразмерен). Чтобы полная сила осталась нулём, нужно электрическое поле
\[ \vec E=-[\vec\beta\times\vec B]. \]б. При малых \(\beta\) индукция почти не меняется, \(B'\approx B\), поэтому возникшее поле \(\vec E\simeq-[\vec\beta\times\vec B]\). Это школьная формула «движущийся магнит рождает \(E=vB/c\)».
в. Оба правы. Экспериментатор 1 сидит в лаборатории: магнит едет, есть \(E=-[\vec\beta\times\vec B]\), заряд (у него покоящийся) чувствует \(qE\). Экспериментатор 2 сидит на магните: \(E=0\), зато заряд едет со скоростью \(-\beta c\) в поле \(B\) и чувствует магнитную силу той же величины и направления. Сила — инвариант (в смысле: оба согласятся, ускорился заряд или нет, в нерелятивистском пределе). Абсолютного движения магнита нет: нельзя сказать, «на самом деле» есть \(E\) или нет.
Исходное состояние: \(E=0\), заряд покоится, сила нуль. После сноса \(E_\parallel'=0\), \(E_\perp'=\gamma(0-[\vec\beta\times\mathbf{B}])_\perp=-\gamma[\vec\beta\times\mathbf{B}]\). В школьной записи часто опускают \(\gamma\) и пишут \(\vec E=-[\vec\beta\times\vec B]\); при \(\beta=0{,}6\) разница между \(0{,}6\,B\) и \(0{,}75\,B\) уже заметна. Инвариант \(\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}=0\) сохраняется (новое \(E\) перпендикулярно старому \(B\)), а \(E^2-B^2=-B_0^2\) остаётся отрицательным: поле «магнитнее» электрического.
Пункт в — униполярный парадокс. Сила \(q\mathbf{E}+q[\vec\beta\times\mathbf{B}]\) в одной системе есть чистый \(q\mathbf{E}\), в другой — чистый \(q[\vec\beta\times\mathbf{B}]\); сам факт «заряд ускорился или нет» инвариантен. При \(v\ll c\) оба описания совпадают численно: \(E\approx vB/c\). При \(\beta\to1\) лабораторное \(E\) сравнивается с \(B\), конфигурация становится волновой.