Решите задачу 14.3.4 в случае, если проводник будет двигаться со скоростью \(\vec\beta_1 c\), \(\beta_1=k\vec\beta\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Ионы. Они покоились, проводник едет со скоростью \(\beta_1 c\):
\[ \rho_i=\gamma_1\rho,\qquad \gamma_1=\frac{1}{\sqrt{1-\beta_1^2}}. \]Электроны. Сначала переходим в систему, движущуюся со скоростью \(\beta c\) — там электроны покоятся, и \(\rho_e'=-\rho/\gamma\), \(\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}\). Затем эту систему разгоняем до \(\beta_1\): относительная скорость второго сноса
\[ \beta_2=\frac{\beta_1-\beta}{1-\beta_1\beta}. \]Плотность покоящихся электронов при сносе со скоростью \(\beta_2\) делится на \(\sqrt{1-\beta_2^2}\):
\[ \rho_e=\frac{\rho_e'}{\sqrt{1-\beta_2^2}}=-\gamma_1(1-\beta\beta_1)\rho. \](Тождество \(\gamma_1(1-\beta\beta_1)=1/(\gamma\sqrt{1-\beta_2^2})\) проверяется алгеброй сложения.)
б. Ток определяется скоростью ионов и электронов в новой системе. Результат: \(B\) растёт в \(\gamma_1\) раз по сравнению с исходным.
в. Как и в 14.3.4, появившийся объёмный заряд и ток связаны так, что \(E_1=\beta_1 B_1\).
Два буста подряд: сначала догоняем электроны (\(\beta\)), потом добираем до \(\beta_1=k\beta\). Сложение скоростей \(\beta_2=(\beta_1-\beta)/(1-\beta_1\beta)\) как раз и даёт множитель \(\gamma_1(1-\beta\beta_1)\) у электронной плотности. Пусть \(\beta=0{,}6\), \(k=0{,}5\), тогда \(\beta_1=0{,}3\), \(\gamma_1\approx1{,}05\), \(\rho_i=1{,}05\rho\), \(\rho_e=-1{,}05(1-0{,}18)\rho=-0{,}86\rho\). Нетто снова положительный, но меньше, чем в 14.3.4. Поля связаны \(E_1=\beta_1 B_1\): это \(E_\perp'=\gamma_1[\vec\beta_1\times\mathbf{B}]_\perp\) при почти чисто магнитном исходном состоянии.
Контроль пределов обязателен. \(k=1\) возвращает 14.3.4. \(k=0\) — провод стоит, компенсации полная, \(E=0\). \(k=-1\) — поехали против тока, электроны ещё быстрее, знак заряда меняется. При \(v\ll c\) все \(\gamma\approx1\), плотности \(\rho_i\approx\rho\), \(\rho_e\approx-\rho(1-\beta\beta_1)\), нетто \(\approx\rho\beta\beta_1\).