а. В прямом неподвижном проводнике скорость электронов равна \(-\vec\beta c\), а скорость протонов равна нулю. Плотности объёмного заряда электронов и ионов равны \(\pm\rho\). Как изменится плотность электронов и ионов при движении проводника со скоростью \(\beta c\)?
б. Во сколько раз изменится индукция магнитного поля в движущемся проводнике?
в. Как связаны между собой индукция магнитного поля в движущемся проводнике \(\vec B\) с электрической напряжённостью \(\vec E\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Снос состояния со скоростью \(\beta c\) в ту же сторону, куда в исходном проводнике смотрят ионы (и откуда бегут электроны). Ионы покоились — их плотность растёт из-за сокращения длины:
\[ \rho_i=\gamma\rho. \]Электроны уже имели скорость \(-\beta c\). В новой системе они покоятся (мы как раз догнали их). Плотность покоящихся электронов меньше исходной лабораторной в \(\gamma\) раз (обратное сокращение):
\[ \rho_e=-\frac{\rho}{\gamma}. \]б. Ток в исходном проводнике создавали электроны: \(j=-\rho\cdot\beta c\), \(B\sim j\). В новой системе ток создают ионы: \(j'=\rho_i\cdot\beta c=\gamma\rho\beta c\), то есть \(|j'|=\gamma|j|\). Магнитное поле растёт в \(\gamma\) раз.
в. Ионы и электроны больше не компенсируются:
\[ \rho'=\rho_i+\rho_e=\gamma\rho-\frac{\rho}{\gamma}=\gamma\beta^2\rho. \]Цилиндр с линейной плотностью \(\rho's\) (\(s\) — сечение) даёт \(E=2\rho's/r=2\gamma\beta^2\rho s/r\). Магнитное поле \(B=2I'/(cr)=2\gamma\rho\beta s/r\). Поэтому
\[ E=\beta B. \]Плотности ионов и электронов — временны́е компоненты двух 4-токов. Ионы стартовали из покоя, поэтому \(\rho_i=\gamma\rho\); электроны уже бежали со скоростью \(-\beta c\), и после сноса на \(\beta c\) они покоятся, \(\rho_e=-\rho/\gamma\). При \(\beta=0{,}6\), \(\gamma=1{,}25\): \(\rho_i=1{,}25\rho\), \(\rho_e=-0{,}80\rho\), нетто \(\rho'=\gamma\beta^2\rho=0{,}45\rho\). Проводник заряжен положительно. Магнитное поле растёт в \(\gamma=1{,}25\), и связь \(E=\beta B\) есть частный случай \(E_\perp=\gamma(\,0+[\vec\beta\times\mathbf{B}]\,)_\perp\) при исходном \(E=0\).
Инвариант \(c^2\rho^2-j^2\) один и тот же до и после: в покое провода \(j=-\rho\beta c\), после \(c^2\rho'^2-j'^2=-(\rho\beta c)^2\). При \(v\ll c\) заряд \(\rho'\approx\beta^2\rho\) квадратично мал, а ток почти не меняется — поэтому в школьных задачах движущийся провод «нейтрален». При \(\beta\to1\) почти весь заряд сидит на ионах, электроны «выключены».