Найдите электрическое и магнитное поля равномерно заряженной нити, движущейся в продольном направлении со скоростью \(\vec\beta c\), если в системе отсчёта, в которой нить неподвижна, плотность заряда на единицу длины нити равна \(\rho\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В покое нити \(E_r=2\rho/r\), \(B=0\) (СГС). При продольном движении отрезок нити длины \(L_0\) становится \(L_0/\gamma\), заряд тот же, поэтому
\[ \rho'=\gamma\rho. \]Электрическое поле движущейся нити на расстоянии \(r\) (поперечное расстояние не сокращается)
\[ E_r=\frac{2\rho'}{r}=\frac{2\gamma\rho}{r}. \]Нить несёт ток \(I=\rho'\cdot\beta c=\gamma\rho\beta c\). Поле прямого тока \(B=2I/(cr)\):
\[ B=\frac{2\gamma\rho\beta}{r}. \]Линии \(B\) — окружности вокруг нити. Снова \(B=\beta E_r\), как и должно быть для чисто поперечного \(\mathbf{E}\).
Поле нити чисто радиальное, то есть строго поперечное: \(E_\parallel=0\). Формулы \(E_\perp'=\gamma E\), \(B'=[\vec\beta\times\mathbf{E}']\) дают \(E_r=2\gamma\rho/r\), \(B_\varphi=2\gamma\beta\rho/r\). При \(\beta=0{,}6\), \(\gamma=1{,}25\) линейная плотность и оба поля растут на 25 процентов, а \(B=0{,}6\,E_r\). Инвариант \(E^2-B^2=(2\rho/r)^2\) совпадает с покоящейся нитью: магнитный вклад \(\beta^2\gamma^2\) как раз съедает лишний \(\gamma^2-1\).
Теорема Гаусса в поперечной плоскости не чувствует буста: заряд на лабораторную длину есть \(\gamma\rho\), радиус не сокращается. Закон Ампера для тока \(I=\gamma\rho\beta c\) даёт то же \(B\). При \(v\ll c\) остаётся обычная нить плюс слабое \(B=2\rho v/(cr)\). При \(\beta\to1\) поле сплющивается к «блину» вокруг нити, как у ультрарелятивистского заряда задачи 14.3.12.