Решите задачу 14.3.1 в случае, когда скорость \(\beta c\) направлена под углом \(\alpha\) к пластинам конденсатора. Как связаны между собой электрическая напряжённость и магнитная индукция в этом конденсаторе?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В сопутствующей системе \(\mathbf{E}\) перпендикулярно пластинам, \(B=0\). Угол между \(\vec\beta\) и пластинами равен \(\alpha\), значит угол между \(\vec\beta\) и \(\mathbf{E}\) равен \(90^\circ-\alpha\):
\[ E_\parallel=E\sin\alpha,\qquad E_\perp=E\cos\alpha. \]\(E_\parallel\) — вдоль скорости — при «сносе» не меняется (продольное поле инвариантно). \(E_\perp\) умножается на \(\gamma\), как в задаче 14.3.1:
\[ E_\parallel'=E\sin\alpha,\qquad E_\perp'=\gamma E\cos\alpha. \]Магнитное поле рождается только поперечным электрическим:
\[ B=\gamma\beta E\cos\alpha=\beta E_\perp'. \]\(\mathbf{B}\) перпендикулярно и \(\vec\beta\), и \(\mathbf{E}_\perp\), то есть лежит в плоскости пластин, поперёк проекции скорости. Связь \(\mathbf{B}=[\vec\beta\times\mathbf{E}']\) по-прежнему держится: \(B=\beta E_\perp'\).
Теперь \(\mathbf{E}\) не перпендикулярно \(\vec\beta\): \(E_\parallel=E\sin\alpha\) не меняется, \(E_\perp=E\cos\alpha\) умножается на \(\gamma\). При \(\beta=0{,}6\), \(\gamma=1{,}25\) и, скажем, \(\alpha=30^\circ\) получаем \(E_\parallel'=0{,}50\,E\), \(E_\perp'=1{,}08\,E\), \(B=\gamma\beta E\cos\alpha=0{,}65\,E\). Инвариант \(\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}=0\) сохраняется: \(\mathbf{B}\) ортогонален и \(\vec\beta\), и \(\mathbf{E}_\perp\). Второй инвариант \(E^2-B^2=E_\parallel^2+E_\perp^2-(\beta E_\perp')^2\) снова равен \(E^2\).
Пределы читаются без алгебры. \(\alpha=0\) — задача 14.3.1, пластины вдоль скорости. \(\alpha=\pi/2\) — конденсатор «наезжает» на свои пластины: поле продольно, \(E'=E\), токов на обкладках нет, \(B=0\). При \(v\ll c\) поправка к \(E_\perp\) квадратична, а \(B\approx\beta E\cos\alpha\) линейно по скорости — как \(\vec v\times\vec E/c\) в СИ.