Определите плотность поверхностного заряда, электрическое и магнитное поля в конденсаторе, движущемся со скоростью \(\beta c\) параллельно своим пластинам, если в системе отсчёта, движущейся вместе с конденсатором, электрическая напряжённость равна \(E\). (Элементарный электрический заряд частиц при движении системы не меняется, но меняется расстояние между зарядами.)
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В сопутствующей системе напряжённость \(E\), пластины несут плотность \(\sigma=E/(4\pi)\) (СГС; в этом параграфе везде СГС). Заряды на пластине расставлены вдоль направления будущего движения.
Когда конденсатор едет со скоростью \(\beta c\) вдоль пластин, расстояния между зарядами вдоль скорости сокращаются в \(\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}\) раз. Заряд каждого куска тот же, площадь «сжимается» только в одном направлении, поэтому
\[ \sigma'=\gamma\sigma. \]Поле бесконечных пластин \(E'=4\pi\sigma'=\gamma E\). Оно по-прежнему перпендикулярно пластинам.
Движущийся поверхностный заряд — это линейная плотность тока \(i=\sigma'\cdot\beta c\) (на единицу поперечной ширины). Две пластины с противоположными токами создают между собой однородное \(B\), направленное поперёк скорости и поперёк \(E\). В СГС для такого «токового конденсатора»
\[ B=\frac{4\pi}{c}\cdot\sigma'\cdot\beta c=\beta E'=\gamma\beta E. \]Снаружи поля по-прежнему нет: токи компенсируются, как и заряды. Связь \(B=\beta E'\) — частный случай общего правила: движущееся \(\mathbf{E}_\perp\) рождает \(\mathbf{B}=[\vec\beta\times\mathbf{E}]\).
Разложим поле покоящегося конденсатора относительно \(\vec\beta\): \(\mathbf{E}\) целиком поперечно, \(E_\parallel=0\), \(B=0\). Общее правило \(E_\parallel'=E_\parallel\), \(E_\perp'=\gamma(E+[\vec\beta\times\mathbf{B}])_\perp\) сразу даёт \(E'=\gamma E\), \(B'=\gamma\beta E\). При \(\beta=0{,}6\) имеем \(\gamma=1{,}25\): поле между пластинами вырастает на четверть, а \(B=0{,}75\,E\) — уже сравнимо с \(E\). Инвариант \(E^2-B^2=E_0^2\) держится: \(\gamma^2E^2-\gamma^2\beta^2E^2=E^2\).
Поверхностная плотность растёт по той же причине, что и \(E\): заряд инвариантен, продольные промежутки сокращаются в \(\gamma\). При \(v\ll c\) добавка порядка \(\beta^2/2\): \(E'\approx E(1+\tfrac12\beta^2)\), магнитное поле \(B\approx\beta E\) — школьный «ток обкладок». В пределе \(\beta\to1\) оба поля уходят на бесконечность, но их разность квадратов остаётся полевой энергией покоящегося конденсатора.