Савченко, задача 14.2.18

Решение

Система корабля \(S\): \(z=A\sin\omega t\) (пункт а), \(x=y=0\). Земля — система \(S'\), относительно которой корабль едет вдоль \(z\) со скоростью \(\beta c\):

\[ z'=\gamma(z+\beta ct),\qquad t'=\gamma\Bigl(t+\frac{\beta z}{c}\Bigr),\qquad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}. \]

Центр колебаний (\(z=0\)) имеет \(z'=\gamma\beta ct=\beta c t'\), то есть едет со скоростью \(\beta c\). Координата тела относительно центра \(z'-\beta c t'\=\gamma z=\gamma A\sin\omega t\). Осталось выразить \(t\) через \(t'\) и \(z'\). Из второй формулы \(t=t'/\gamma-\beta z/c\). Но \(z=(z'-\beta ct')/\gamma\), и получается неявная связь. Книга записывает её так:

\[ z'=A\gamma\sin\Biggl(\frac{\omega t'}{\gamma}\Bigl(1+\frac{\beta z'}{\omega c}\Bigr)\Biggr) \quad\text{(относительно центра; в ответе \(z'=A/\gamma\sin[\omega t'/\gamma\cdot(1+\beta z'/\omega c)]\))}. \]

Печатный ответ: «координаты тела относительно центра связаны со временем \(t'\) соотношениями: а) \(z'= (A/\gamma)\sin\bigl[(\omega t'/\gamma)(1+\beta z'/\omega c)\bigr]\)». Множитель \(1/\gamma\) у амплитуды — сокращение продольных размеров: с Земли амплитуда кажется \(A/\gamma\). Аргумент синуса содержит \(z'\) — колебания уже не гармонические: когда тело впереди, его часы отстают иначе, чем когда сзади (одновременность).

б. Поперечные колебания \(y=A\sin\omega t\). Поперечная координата не сокращается, \(y'=y=A\sin\omega t\). Время \(t=t'/\gamma\), потому что \(y\) не входит в преобразование \(t\) (события осциллятора при \(z=0\)):

\[ y'=A\sin\frac{\omega t'}{\gamma}. \]

Частота с Земли в \(\gamma\) раз меньше — чистое замедление времени. Амплитуда та же.