По направлению к Земле со скоростью \(v\) движется космический корабль. Когда измеренное с Земли расстояние до корабля было \(l\), с Земли запустили ракету. Через какое время после запуска встретится ракета с кораблём по наблюдениям с Земли и с корабля, если ракета двигалась навстречу кораблю: а) со скоростью \(u\)? б\(^*\) с ускорением \(a\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Постоянная скорость. С Земли корабль и ракета сближаются со скоростью \(v+u\) (это разность земных скоростей, не относительная скорость в смысле сложения). Расстояние в момент старта \(l\), время до встречи
\[ \tau_1=\frac{l}{v+u}. \]Событие старта: \(x=0\), \(t=0\). Событие встречи: \(x=u\tau_1\), \(t=\tau_1\). В системе корабля, едущего со скоростью \(-v\) (корабль к Земле, ось к кораблю),
\[ \tau_2=\gamma_v\Bigl(\tau_1-\frac{(-v)u\tau_1}{c^2}\Bigr) =\frac{\tau_1(1+vu/c^2)}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]В печатном ответе стоит \(\tau_2=\tau_1(1+vu)/\sqrt{1-(u/c)^2}\) — \(\gamma\) от скорости ракеты и без \(c^2\) в \(vu\). Это соответствует другому выбору: время на часах ракеты (собственное), если ракета инерциальна. Собственное время ракеты \(\tau_{\text{рак}}=\tau_1\sqrt{1-u^2/c^2}\), не то. Печатное \(\tau_2=\tau_1(1+vu)/\sqrt{1-u^2/c^2}\) при восстановлении \(c\) есть \(\tau_1(1+vu/c^2)/\sqrt{1-u^2/c^2}\) — это время в системе, где ракета покоится? Нет: если преобразовывать в систему ракеты, \(\gamma_u(\tau_1-(-u)\cdot 0)\) не так.
Аккуратно: «по наблюдениям с корабля» — система корабля. Корабль имеет скорость \(-v\), встреча в \(x=u\tau_1\):
\[ t'=\gamma_v\Bigl(\tau_1+\frac{v\cdot u\tau_1}{c^2}\Bigr)=\gamma_v\tau_1\Bigl(1+\frac{vu}{c^2}\Bigr). \]Это наш \(\tau_2\). Печатная формула с \(\gamma_u\) вместо \(\gamma_v\), видимо, описывает часы на ракете глазами корабля иначе. Следуем смыслу «с корабля» и пишем \(\tau_2=\tau_1(1+vu/c^2)/\sqrt{1-v^2/c^2}\). Если держаться буквы ответов, \(\tau_2=\tau_1(1+vu/c^2)/\sqrt{1-u^2/c^2}\).
Сверяясь с книгой буквально: \(\tau_2=\tau_1(1+vu)/\sqrt{1-(u/c)^2}\). Приведём оба: земное \(\tau_1=l/(v+u)\) бесспорно; корабельное — лоренцев образ интервала между стартом и встречей, \(\gamma_v(1+vu/c^2)\tau_1\).
б. Ускорение \(a\). С Земли ракета \(x=at^2/2\), корабль \(x=l-vt\). Встреча:
\[ \frac{a\tau_1^2}{2}+v\tau_1-l=0,\qquad \tau_1=\frac{v}{a}\Bigl(\sqrt{1+\frac{2al}{v^2}}-1\Bigr) \](положительный корень). С корабля книга даёт
\[ \tau_2=\tau_1\cdot\frac{1+va\tau_1/(2c^2)}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]Это снова Лоренц: координата встречи \(x=l-v\tau_1=a\tau_1^2/2\), поэтому \(t'=\gamma(t+vx/c^2)=\gamma\tau_1(1+va\tau_1/(2c^2))\). Сошлось.