При какой минимальной кинетической энергии позитрона его столкновение с неподвижным электроном может вызвать появление протон-антипротонной пары: \(e^++e^-\to p+\bar p\)? Во сколько раз эта энергия больше минимальной кинетической энергии позитрона, который рождает протон-антипротонную пару при встречном столкновении с электроном?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Неподвижный электрон. Позитрон с \(\gamma\), мишень \(m_ec^2\):
\[ s=2m_e^2c^2(1+\gamma). \]Порог \(p\bar p\): \(\sqrt{s}=2m_pc^2\), \(2m_e^2(1+\gamma)=4m_p^2\),
\[ \gamma=2\Bigl(\frac{m_p}{m_e}\Bigr)^2-1,\qquad K=(\gamma-1)m_ec^2=\frac{2c^2}{m_e}(m_p^2-m_e^2). \]Книга: \(K=2c^2(m_p^2-m_e^2)/m_e\). Численно \(2\cdot938^2/0{,}511\approx3{,}4\cdot10^6\) МэВ \(=3{,}4\) ТэВ.
Встречные пучки. Из 14.5.5 \(K_{\text{встр}}=(m_p-m_e)c^2\approx938\) МэВ. Отношение
\[ N=\frac{2(m_p^2-m_e^2)/m_e}{m_p-m_e}=2\Bigl(\frac{m_p}{m_e}+1\Bigr)\approx2\frac{m_p}{m_e}. \]Книга пишет \(N=2(m_p/m_e-1)=3{,}7\cdot10^3\). Порядок тот же: несколько тысяч. Коллайдер выигрывает огромный фактор.
Позитрон бьёт в стоячий электрон. Инвариант \(s=2m_e^2c^2(1+\gamma)\ge4m_p^2c^2\), откуда \(K=2c^2(m_p^2-m_e^2)/m_e\approx2\cdot938^2/0{,}511=3{,}44\) ТэВ. На встречных пучках хватает \(K=(m_p-m_e)c^2=938\) МэВ на каждый (14.5.5). Отношение \(N\approx2m_p/m_e=2\cdot1836=3672\), книга пишет \(3{,}7\cdot10^3\). Три с половиной порядка — цена неподвижной мишени, когда «снаряд» в \(1836\) раз легче «продукта».
Именно поэтому \(e^+e^-\)-коллайдеры (ADONE, SPEAR, LEP) строят встречными, а не бьют позитроном в фольгу. При \(m_p=m_e\) (гипотеза) оба порога почти нулевые, \(N\to0\). Формула \(E=\gamma m_ec^2\) при \(K=3{,}4\) ТэВ даёт \(\gamma\sim6\cdot10^6\): позитрон уже ультрарелятивистский до невозможности, вся энергия «полевая». Пара \(p\bar p\) стоит \(2\cdot938=1876\) МэВ в ЦМ — и почти вся лабораторная энергия на мишени в ЦМ не попадает.