а. С какой скоростью двигалось возбуждённое ядро массы \(M\), если после испускания \(\gamma\)-кванта массы \(m\) оно остановилось? На сколько отличается масса и энергия возбуждённого и невозбуждённого ядра?
б. В каком диапазоне скоростей возбуждённого ядра из задачи пункта а возможно следующее событие: испущенный возбуждённым ядром \(\gamma\)-квант поглощается невозбуждённым неподвижным ядром?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. После излучения ядро покоится, фотон унёс импульс \(mc\). Значит до излучения ядро имело тот же импульс \(p=mc\). Полевая масса была \(M\) (в языке книги), скорость
\[ v=\frac{pc^2}{Mc^2}=\frac{m}{M}\,c. \]Разность масс возбуждённого и невозбуждённого: фотон унёс полевую массу \(m\), и ядро остановилось, так что его масса покоя стала \(M-m\) плюс тонкости отдачи. Книга пишет просто \(\Delta m=m\), \(\Delta\mathcal{E}=mc^2\).
б. Невозбуждённое покоящееся ядро поглотит фотон массы \(m\), только если энергии хватит и на возбуждение, и на отдачу поглотителя (см. 14.5.6). Фотон, испущенный навстречу движущимся ядром, голубее. Книга указывает диапазон
\[ u>\frac{m}{M}c: \]достаточно, чтобы ядро-источник ехало быстрее, чем в пункте а. Тогда доплеровский запас покрывает обе отдачи (испускание и поглощение). Это обратная сторона мёссбауэровской задачи: без отдачи кристаллической решётки резонанс требует подкрутить скорость источника.
Чтобы остановиться, ядро должно было ехать навстречу будущему фотону с импульсом \(mc\): \(v=(m/M)c=E_\gamma/(Mc)\). Для ядерной линии \(E_\gamma\sim100\) кэВ и среднего ядра \(Mc^2\sim10^5\) МэВ это \(v\sim300\) м/с — как в опытах Мёссбауэра до открытия безотдачного испускания. Разность масс книга берёт просто \(\Delta m=m\); точнее, отдача съедает \(E_\gamma^2/(2Mc^2)\) из дефекта, для той же линии это доли электронвольта на фоне килоэлектронвольт.
Пункт б — резонанс наоборот. Поглотителю тоже нужна отдача, значит фотон должен быть чуть голубее линии. Источник, едущий быстрее, чем в пункте а, даёт доплеровский запас \(E_\gamma v/c\). Порог \(u>mc/M\cdot c\) как раз покрывает две отдачи. При \(v=0\) (оба ядра стоят) резонанс сорван — пока кристалл не возьмёт импульс на себя (Мёссбауэр). При \(\theta=\pi\) (испускание назад) допплер красный, поглощение ещё безнадёжнее.