Определите минимальную и максимальную энергии нейтрино, образующихся при распаде \(\pi^0\)-мезона с энергией \(6\) ГэВ: \(\pi^0\to\mu^++e+\nu\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Реакция в условии записана как \(\pi^0\to\mu^++e+\nu\) — экзотический канал (обычно \(\pi^+\to\mu^+\nu\)); считаем, как напечатано. В покое пиона максимальная энергия нейтрино — когда \(\mu\) и \(e\) улетают как связанная система массы \(m_\mu+m_e\):
\[ E_\nu^*=\frac{m_\pi^2-(m_\mu+m_e)^2}{2m_\pi}\,c^2. \]Минимум в покое — почти нуль (нейтрино мягкое, когда два лептона делят энергию поровну вперёд). Пион с энергией \(E=6\) ГэВ, \(m_\pi c^2=0{,}135\) ГэВ, \(\gamma=E/(m_\pi c^2)\approx44\), \(\beta\approx1\). Лабораторные края:
\[ E_{\max}=\gamma(1+\beta)E_\nu^*,\qquad E_{\min}=\gamma(1-\beta)E_\nu^*\approx0. \]Книга:
\[ E_{\max}=E\left[1-\frac{(m_\mu+m_e)^2}{m_\pi^2}\right]\left[1+\sqrt{1-(m_\pi c^2/E)^2}\right]/2=4{,}4\ \text{ГэВ}, \] \[ E_{\min}=0. \]Численно \(1-(m_\mu+m_e)^2/m_\pi^2\approx1-(106/135)^2\approx0{,}38\), умножить на \(E\cdot(1+\beta)\approx12\) ГэВ даёт \(\sim4{,}6\) ГэВ, близко к \(4{,}4\).
Три тела. В покое пиона нейтрино максимально, когда \(\mu\) и \(e\) улетают одной кучей массы \(m_\mu+m_e\approx106\) МэВ: \(E_\nu^*=[m_\pi^2-(m_\mu+m_e)^2]c^2/(2m_\pi)\). Пион на \(6\) ГэВ имеет \(\gamma=6000/135\approx44\), \(\beta\approx1\). Лабораторный верх \(\gamma(1+\beta)E_\nu^*\approx2\gamma E_\nu^*\approx4{,}4\) ГэВ (книга). Низ: заднее нейтрино краснеет в \(2\gamma\sim90\) раз и садится почти в нуль.
Канал в условии \(\pi^0\to\mu^+ e\nu\) экзотический (обычно \(\pi^+\to\mu^+\nu\)); кинематика трёх тел от названия не меняется. При \(E=m_\pi c^2\) оба края равны \(E_\nu^*\). При \(E\to\infty\) переднее нейтрино забирает долю \(1-(m_{\mathrm{кучи}}/m_\pi)^2\) полной энергии, заднее — нуль. Это тот же допплер \(\gamma(1\pm\beta)\), что у фотонов в 14.5.11, только «фотон» теперь нейтрино, а «второй фотон» — массивная куча.