В каком диапазоне энергий лежат кинетические энергии электронов и нейтрино, возникающих при распаде \(\mu^-\to e^-+\nu+\bar\nu\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Распад трёхтельный, мюон считаем покоящимся. Масса \(m_\mu c^2=105{,}7\) МэВ, \(m_e c^2=0{,}51\) МэВ.
Электрон. Максимум — оба нейтрино летят вместе (эффективно одна безмассовая частица) навстречу электрону. Как в двухтельном распаде на \(e\) и «\(m=0\)»:
\[ E_e^{\max}=\frac{m_\mu^2+m_e^2}{2m_\mu}c^2,\qquad K_e^{\max}=E_e^{\max}-m_ec^2=\frac{(m_\mu-m_e)^2c^2}{2m_\mu}. \]Минимум кинетической — нуль (электрон почти покоится, нейтрино унесли всё). Книга так и пишет: от нуля до \((m_\mu-m_e)^2c^2/(2m_\mu)\approx52{,}3\) МэВ.
Нейтрино. Максимум — электрон и второе нейтрино улетают вместе, масса кучи \(m_e\):
\[ E_\nu^{\max}=\frac{m_\mu^2-m_e^2}{2m_\mu}c^2=\frac12\Bigl(m_\mu-\frac{m_e^2}{m_\mu}\Bigr)c^2. \]Книга: от нуля до \(\tfrac12(m_\mu-2m_e^2/m_\mu)c^2\). Почти \(m_\mu c^2/2\approx53\) МэВ. Минимум — нуль.
Покоящийся мюон, \(m_\mu c^2=105{,}7\) МэВ. Электрон максимально энергичен, когда оба нейтрино улетают одной безмассовой кучей навстречу: \(K_e^{\max}=(m_\mu-m_e)^2c^2/(2m_\mu)=52{,}3\) МэВ — знаменитый край спектра \(\mu\to e\nu\bar\nu\). Нейтрино максимально, когда электрон и второе нейтрино — куча массы \(m_e\): \(E_\nu^{\max}\approx m_\mu c^2/2=52{,}8\) МэВ. Оба минимума — нуль: третье тело может унести почти всё.
Если у нейтрино есть масса, край электрона сдвигается вниз — так и ставили пределы на \(m_\nu\) до осцилляций. При \(m_e=0\) оба максимума равны \(m_\mu c^2/2\). Формула \(K=(\gamma-1)mc^2\) для электрона на краю: \(E_e\approx52{,}8\) МэВ, \(\gamma\approx103\), ультрарелятивистский. Мюон здесь покоится; если бы он летел, спектр растянулся бы множителем \(\gamma_\mu(1+\beta\cos\theta)\), как в 14.5.20.