Савченко, задача 14.5.22

Решение

Электрон ультрарелятивистский: \(E_e=10^{10}\) эВ, \(m_ec^2=5\cdot10^5\) эВ, \(\gamma_e=2\cdot10^4\). Фотон \(E=10\) эВ летит навстречу. В системе электрона энергия фотона (лобовой допплер)

\[ E^*\approx\gamma_e(1+\beta)E\approx2\gamma_e E=4\cdot10^5\ \text{эВ}\sim m_ec^2. \]

Уже не «мягкий» Комптон: нужно точное преобразование. Максимум в лаборатории — фотон после рассеяния летит вдоль электрона. Книга:

\[ E_{\max}=E\cdot\frac{E_e+\sqrt{E_e^2-(m_ec^2)^2}}{2E+E_e-\sqrt{E_e^2-(m_ec^2)^2}}\,?\quad E_{\max}=E\,\frac{E_e+\sqrt{E_e^2-m_e^2c^4}}{2E+E_e-\sqrt{E_e^2-m_e^2c^4}}. \]

При \(E_e\gg m_ec^2\) и \(E\ll m_ec^2/\gamma_e\) это \(4\gamma_e^2 E\). У нас \(4\gamma_e^2 E=4\cdot4\cdot10^8\cdot10=1{,}6\cdot10^{10}\) эВ — уже сравнимо с \(E_e\), полный Комптон режет. Оценка: \(E_{\max}\) порядка нескольких ГэВ, не больше \(E_e\).

Печатная формула (восстанавливая черты дроби):

\[ E_{\max}=E\cdot\frac{E_e+\sqrt{E_e^2-(m_ec^2)^2}}{2E+E_e-\sqrt{E_e^2-(m_ec^2)^2}}. \]

Обратный Комптон. В системе электрона падающий фотон голубеет: \(E^*\approx\gamma_e(1+\beta)E\approx2\gamma_e E\). Здесь \(E_e=10^{10}\) эВ, \(m_ec^2=5{,}11\cdot10^5\) эВ, \(\gamma_e\approx2\cdot10^4\), \(E=10\) эВ, значит \(E^*\approx4\cdot10^5\) эВ \(\sim511\) кэВ — уже не мягкий Комптон, нужна полная формула. Обратное рассеяние (\(\theta^*=\pi\)) и обратный буст дают лабораторный максимум вдоль электрона. Наивная оценка \(4\gamma_e^2 E=1{,}6\cdot10^{10}\) эВ уже больше \(E_e\); отдача режет, \(E_{\max}\) порядка нескольких ГэВ и заведомо меньше \(E_e+E\).

Комптоновский сдвиг \(\lambda'-\lambda=\lambda_C(1-\cos\theta)\) в системе электрона как раз и есть эта отдача: при \(\theta^*=\pi\) фотон не может оставить себе больше \(\sim m_ec^2/2\), если он жёстче массы. При \(\theta^*=0\) (вперёд) энергия не меняется. При \(E_e=m_ec^2\) (электрон стоит) \(E_{\max}=E\): обычный фотон не ужесточается. Так на лазерных ондуляторах получают жёсткие \(\gamma\): оптический эВ превращается в МэВ–ГэВ.