Фотон массы \(m\) сталкивается с неподвижным электроном. Определите массу фотона и электрона после столкновения, при котором фотон изменил направление движения на угол \(\alpha\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Электрон покоился, энергия \(m_ec^2\), импульс \(0\). Фотон: энергия \(mc^2\), импульс \(mc\). После рассеяния на угол \(\alpha\) фотон имеет массу \(m_\gamma\) (энергию \(m_\gamma c^2\)), электрон — полевую массу \(m_e'\).
Сохранение энергии (полевых масс): \(m+m_e=m_\gamma+m_e'\), откуда \(m_e'=m_e+m-m_\gamma\). Сохранение импульса: векторный треугольник, квадрат
\[ (m_e'v_e/c)^2=m^2+m_\gamma^2-2mm_\gamma\cos\alpha. \]Исключая скорость электрона через \(m_e'^2-p_e^2/c^2=m_e^2\), получаем стандартный Комптон
\[ \frac{1}{m_\gamma}-\frac{1}{m}=\frac{1-\cos\alpha}{m_e},\qquad m_\gamma=\frac{m}{1+(m/m_e)(1-\cos\alpha)}. \]Это ответ книги. При \(\alpha=0\) \(m_\gamma=m\): вперёд фотон не краснеет. При \(\alpha=180^\circ\) \(m_\gamma=m/(1+2m/m_e)\).
Масса фотона в языке книги — \(E/c^2\). Комптон в этих единицах: \(1/m'-1/m=(1-\cos\alpha)/m_e\), то есть \(m'=m\big/\big[1+(m/m_e)(1-\cos\alpha)\big]\). При \(\alpha=0\) фотон не краснеет, \(m'=m\). При \(\alpha=\pi\) (назад) \(m'=m/(1+2m/m_e)\). Если исходный фотон мягкий, \(m\ll m_e=511\) кэВ\(/c^2\), сдвиг мал и совпадает с \(\Delta\lambda=\lambda_C(1-\cos\alpha)\), \(\lambda_C=h/(m_ec)\). Если жёсткий, \(m\to\infty\), назад \(m'\to m_e/2\): фотон не отдаст больше, чем позволяет отдача электрона.
Полевая масса электрона после \(m_e'=m_e+m-m'\) растёт ровно на то, что потерял фотон: сохранение энергии. Кинетика электрона \(K=(m_e'-m_e)c^2=(m-m')c^2\). При \(\alpha=0\) \(K=0\); при \(\alpha=\pi\) и мягком фотоне \(K\approx2E^2/(m_ec^2)\) — школьный двойной допплер отдачи. Инвариант \(s=(p_e+p_\gamma)^2\) до и после один, потому что на выходе снова два тела, а не одно (ср. 14.5.24).