Докажите, что свободный электрон не может ни поглотить, ни испустить фотон.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Поглощение. До: электрон \(p_e\), фотон \(k\), \(k^2=0\), \(p_e^2=m_e^2c^2\). После: один электрон \(p_e'\), \(p_e'^2=m_e^2c^2\). Сохранение \(p_e'=p_e+k\). Квадрат:
\[ p_e'^2=p_e^2+2p_e\cdot k+k^2=m_e^2c^2+2p_e\cdot k. \]Скаляр \(p_e\cdot k=\mathcal{E}_eE_\gamma/c^2-\vec p_e\cdot\vec k\). В системе покоя электрона это \(m_eE_\gamma>0\). Значит \(p_e'^2>m_e^2c^2\) — противоречие. Свободный электрон фотон не проглотит.
Излучение. Наоборот: \(p_e=p_e'+k\), тогда \(p_e^2=p_e'^2+2p_e'\cdot k>m_e^2c^2\), опять противоречие. Свободный электрон не светит.
Чтобы процесс пошёл, нужен третий участник: ядро (тормозное излучение, рождение пары на ядре), кристалл (эффект Мёссбауэра), или чтобы электрон был связан (атомные линии). Комптон 14.5.23 разрешён именно потому, что на выходе два тела: электрон и фотон — инвариант делится между ними.
На языке 14.5.6: после поглощения «масса» стала \(\sqrt{M(M+2m)}\ne M\). Одному электрону некуда деть лишнюю массу, не изменив \(m_e\).
Четырёхимпульс фотона светоподобен, \(k^2=0\). Прибавить его к времениподобному \(p_e\) и остаться на той же массовой оболочке \(p^2=m_e^2c^2\) нельзя: \(2p_e\cdot k=2m_eE_\gamma>0\) в системе покоя электрона. Поглощение запрещено, излучение — тот же запрет наоборот. Свободный электрон не проглотит фотон и не светит. Чтобы процесс пошёл, нужен партнёр: ядро (тормозное, рождение пары), кристалл (Мёссбауэр) или связь в атоме.
Комптон 14.5.23 разрешён именно потому, что на выходе два тела: инвариант \(s>m_e^2c^2\) делится между электроном и новым фотоном. Рождение пары \(\gamma\to e^+e^-\) в вакууме тоже запрещено (порог \(2m_ec^2=1{,}022\) МэВ не спасает: некуда деть импульс); на ядре — пожалуйста. При \(E_\gamma\to0\) запрет «мягкий», но ноль — не процесс. Формула \(E=\gamma mc^2\) после гипотетического поглощения не сошлась бы с \(mc^2+E_\gamma\): не хватает инерции импульса.