Задача 5.1.10канал вместо отверстия
Условие
Оцените, во сколько раз поток газа, вытекающего из сосуда через цилиндрический канал радиуса \(R\) и длины \(L\), меньше потока газа, вытекающего через отверстие радиуса \(R\). Считать, что стенки канала поглощают молекулы.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Сквозь канал пролетят только те молекулы, которые попали в него под очень малым углом к
оси — иначе они врежутся в стенку и «прилипнут». Доля таких молекул и есть искомый
коэффициент.
Какие молекулы проходят. Молекула, влетевшая в канал, пролетит его насквозь, только если угол \(\vartheta\) между её скоростью и осью не превышает примерно
\[ \vartheta_0 \sim \frac{R}{L} \ll 1. \]Какая это доля. В эффузионном пучке поток молекул, летящих под углом \(\vartheta\), пропорционален \(\cos\vartheta\), а телесный угол — \(2\pi\sin\vartheta\,d\vartheta\). Доля молекул с \(\vartheta<\vartheta_0\):
\[ \frac{\displaystyle\int_0^{\vartheta_0}\cos\vartheta\sin\vartheta\,d\vartheta} {\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos\vartheta\sin\vartheta\,d\vartheta} = \sin^2\vartheta_0 \approx \left(\frac RL\right)^2. \] \[ \boxed{\text{Поток меньше примерно в } \frac{L^2}{R^2}\ \text{раз}} \]Проверка.
При \(L\to0\) множитель \(\to1\) ✓ — канал превращается в отверстие.
Оценка безразмерна и зависит только от отношения \(L/R\) ✓, как и должно быть.
Числом: канал длиной 1 см и радиусом 0,1 мм ослабляет поток в \(10^4\) раз ✓ — так
делают источники молекулярных пучков.
Оговорка про поглощающие стенки существенна ✓: если бы стенки отражали молекулы, часть
их всё равно доползала бы до выхода (это случай Кнудсена, там ослабление всего
\(\sim L/R\), а не \((L/R)^2\)) ✓.
Ответ Примерно в \(L^2/R^2\) раз.