Задача 5.1.9увеличенный сосуд
Условие
Из сосуда через отверстие в стенке вытекает за время \(\tau\) половина разреженного газа. За какое время вытекла бы половина этого же газа, если бы все размеры сосуда (в том числе и размеры отверстия) были в \(n\) раз больше?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Скорость убыли числа молекул пропорциональна концентрации, средней скорости и площади
отверстия. Характерное время — это «объём, делённый на площадь отверстия», а оно растёт
как первая степень размера.
Поток. Число молекул, вылетающих в секунду:
\[ \frac{\Delta N}{\Delta t} = -\frac14\,n\,\bar v\,S = -\frac14\,\frac NV\,\bar v\,S. \]Значит доля \(N/N_0\) убывает по одному и тому же закону с характерным временем
\[ \tau \propto \frac{V}{\bar v\,S}. \]Масштабирование. Все размеры в \(n\) раз больше: \(V\to n^3V\), \(S\to n^2S\), \(\bar v\) не меняется (та же температура и тот же газ). Поэтому
\[ \boxed{\tau' = n\,\tau} \]Проверка.
Ответ не зависит от того, какая именно доля вытекла ✓ — время убывания в любое заданное
число раз масштабируется одинаково, потому что закон убыли экспоненциальный.
Проверка размерности: \(V/(\bar vS)\) — м³/((м/с)м²) = с ✓.
Начальная концентрация в большом сосуде та же, что и в малом (условие «этого же газа») ✓ —
иначе пришлось бы учитывать и её.
Физический смысл: молекуле надо в \(n\) раз дольше «искать» выход ✓.
Ответ \(\tau' = n\tau\).