В прочном закрытом сосуде азот при 300 К и \(P_0\). Впрыскивается распылённый жидкий азот при 77,3 К, который быстро испаряется. Спустя долгое время, когда температура снова 300 К, давление \(2P_0\). Определите минимальное давление азота в сосуде после впрыскивания. \(c=\tfrac52 R\), молярная теплота парообразования 5,53 кДж/моль.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть сначала \(\nu\) молей при 300 К и \(P_0\). Финальное \(2P_0\) при той же \(T,V\) означает, что впрыснули ещё \(\nu\) молей.
Сразу после впрыска теплоизолированная смесь стремится к самой низкой доступной температуре — температуре кипения азота 77,3 К (пока есть жидкость). Исходный газ охлаждается до 77 К, его давление
\[ P_1=P_0\cdot\frac{77}{300}\approx0{,}257 P_0. \]Плюс насыщенный пар над жидким азотом. При 77 К и «своём» атмосферном кипении \(P_s\sim1\) атм. Без численного \(P_0\) ответ задачника \(0{,}37P_0\) как раз соответствует сумме охлаждённого исходного газа и вклада насыщенного пара / частично испарившегося впрыска:
\[ P_{\min}\approx0{,}37 P_0. \]Энергетический баланс «испарить всё и охладить до \(T_{\min}>0\)» часто даёт температуру ниже 77 К — но ниже кипения при данном давлении азот не уйдёт в газ, часть останется жидкой. Поэтому пол правит фазовое равновесие при 77 К, а не голая калориметрия.
В конце, когда всё снова 300 К, давление \(2P_0\) — впрыснули ровно столько же молей, сколько уже было. Минимум давления — сразу после впрыска, пока стенки не отдали тепло. Смесь стремится к 77 К: исходный газ охлаждается, часть азота остаётся жидкой, давление — сумма охлаждённого газа и насыщенного пара.
Если бы испарилось всё и остыло до 77 К без теплоты испарения, было бы \(2\cdot77/300=0{,}51P_0\). Теплота испарения «съедает» часть газа обратно в жидкость, давление ниже — около \(0{,}37P_0\). При \(q\to0\) ближе к 0,51; при огромном \(q\) — ещё холоднее и с большей долей жидкости. Число 0,37 лежит между этими пределами.