Цилиндр сечения 100 см\(^2\) поставлен вертикально в сосуд, из которого откачан воздух. Цилиндр перекрывает подвижный поршень, под которым находится 100 см\(^3\) воды. Цилиндр с поршнем и вода имеют температуру \(100^\circ\mathrm{C}\). Поршень отпускают. Когда он остановился, оказалось, что под ним находятся лёд при \(0^\circ\mathrm{C}\) и водяной пар. Давление насыщенного пара над льдом при \(0^\circ\mathrm{C}\) равно 610 Па. Вся система теплоизолирована от окружающего пространства. Теплоёмкость цилиндра с поршнем 42 Дж/К. На какую высоту поднялся поршень?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Начальная вода \(m=0{,}1\) кг при \(100^\circ\mathrm{C}\) (объём 100 см\(^3\)). Конечное состояние: лёд массы \(m-\mu\) при \(0^\circ\mathrm{C}\) и пар массы \(\mu\) при \(0^\circ\mathrm{C}\), \(P_s=610\) Па. Цилиндр с поршнем отдал \(C\Delta T=42\cdot100=4200\) Дж.
Баланс. Вода, ставшая льдом, отдала \(c\cdot100+\lambda\) на килограмм; пар забрал примерно \(q-c\cdot100\) (испарение из уже горячей воды). С теплоёмкостью цилиндра:
\[ (0{,}1-\mu)(4{,}2\cdot10^5+3{,}3\cdot10^5)+4200=\mu\cdot2{,}26\cdot10^6, \] \[ (0{,}1-\mu)\cdot7{,}5\cdot10^5+4200=2{,}26\cdot10^6\mu, \] \[ 75000+4200=3{,}01\cdot10^6\mu,\qquad\mu=0{,}0263\ \text{кг}. \]Пар как идеальный газ при 273 К и 610 Па:
\[ V=\frac{\mu RT}{\mu_{\text{мол}}P}=\frac{0{,}0263\cdot8{,}31\cdot273}{0{,}018\cdot610}\approx5{,}4\ \text{м}^3. \]Сечение \(S=100\) см\(^2=0{,}01\) м\(^2\), высота
\[ h=\frac{V}{S}\approx540\ \text{м}. \]Задачник даёт 580 м. Разница — в том, включать ли \(PV\) в энтальпию испарения и как точно брать \(q\) при промежуточных температурах. Порядок один: поршень улетает на полкилометра в вакууме.
Вода частично испаряется, частично замерзает, цилиндр остывает на 100 К. Тепло испарения и охлаждения идёт на плавление и охлаждение оставшейся массы. В конце пар при \(0^\circ\mathrm{C}\) и 610 Па: низкое давление «раздувает» 26 г пара в 5 кубометров, поршень поднимается на сотни метров. Цилиндр в задаче — мысленный, не кухонный.