а. Во сколько раз давление насыщенного пара над поверхностью жидкости, поднявшейся по капилляру на высоту \(h\), меньше, чем над плоской? Молекулярная масса \(m\), температура \(T\). Выразите то же через \(r,\sigma,\rho\).
б. В замкнутом сосуде две капли воды, \(r_1=1\) мм и \(r_2=1{,}1\) мм. Как отличаются высоты, на которых они находятся?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Над плоской водой давление насыщения \(P_{\text{пл}}\). Над мениском, поднятым на \(h\), столб пара «легче» по барометрической формуле:
\[ \frac{P}{P_{\text{пл}}}=e^{-mgh/kT}=e^{-\mu gh/RT}. \]Капиллярный подъём \(h=2\sigma/(\rho g r)\), поэтому
\[ \frac{P}{P_{\text{пл}}}=e^{-2\sigma\mu/(\rho r RT)}=e^{-2m\sigma/(\rho r kT)}. \]Это формула Кельвина для вогнутой поверхности (знак минус: давление меньше).
б. Над выпуклой каплей давление, наоборот, больше: \(P=P_0 e^{2\sigma\mu/(\rho r RT)}\). Меньшая капля (\(r_1=1\) мм) «испаряется сильнее». Чтобы давления сравнялись, её нужно опустить в поле тяжести (или большую поднять): барометрическая добавка компенсирует кельвиновскую.
\[ \frac{2\sigma}{\rho r_1}-\frac{2\sigma}{\rho r_2}=g\Delta h,\qquad \Delta h=\frac{2\sigma}{\rho g}\Bigl(\frac1{r_1}-\frac1{r_2}\Bigr). \]Для воды \(2\sigma/(\rho g)=a^2\approx1{,}5\cdot10^{-5}\) м\(^2\), \(1/r_1-1/r_2=91\) м\(^{-1}\),
\[ \Delta h\approx1{,}4\cdot10^{-3}\ \text{м}=1{,}4\ \text{мм}. \]В книге стоит 15 см — по-видимому, опечатка в порядке (так вышло бы при радиусах в сотню раз меньше). Формула верна, число при данных \(r\) — миллиметры.
Над вогнутым мениском давление пара меньше: молекуле улететь помогает искривлённая поверхность слабее (формула Кельвина). Тот же результат даёт барометрическая формула для столба пара высоты \(h=2\sigma/(\rho g r)\). Две капли уравнивают давления, если меньшую поднять (или опустить) на \(\Delta h=2\sigma/\rho g\cdot(1/r_1-1/r_2)\).
При равных радиусах высота нуль. При \(r_2\to\infty\) (плоская вода) \(\Delta h=2\sigma/(\rho g r_1)=15\) мм для миллиметровой капли — капиллярная постоянная. Разность 1 мм и 1,1 мм даёт десятую долю этого, около 1,4 мм. В некоторых изданиях стоит 15 см — опечатка порядка при данных радиусах.