Испаряющийся алюминиевый шарик диаметра 2 мм напыляет в течение 1 мин на холодную плоскую поверхность, обращённую в сторону шарика, алюминиевую плёнку толщины 1 мкм. Плотность алюминия 2,6 г/см\(^3\), напыляемая поверхность находится на расстоянии 1 см от шарика. Оцените, пользуясь рисунком, на котором изображена температурная зависимость давления насыщенного пара алюминия, температуру алюминиевого шарика.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Плёнка толщины \(\delta=1\) мкм \(=10^{-6}\) м за \(t=60\) с, плотность \(\rho=2{,}6\cdot10^3\) кг/м\(^3\). Поток массы на площадку
\[ j=\frac{\rho\delta}{t}=\frac{2{,}6\cdot10^3\cdot10^{-6}}{60}=4{,}3\cdot10^{-5}\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^2\cdot\text{с}}. \]Источник — шарик радиуса \(a=1\) мм на расстоянии \(L=1\) см от поверхности. Испарение идёт в вакуум почти изотропно; на площадку напротив попадает доля порядка \(a^2/L^2\) полного потока, а сам полный поток с шарика \(\dot M=4\pi a^2\cdot P_s\sqrt{\mu/(2\pi RT)}\). Связывая \(j\) с \(P_s\) и учитывая геометрический фактор \(\sim1/4\) (напыление на одну сторону, косинус угла), получаем
\[ P_s\sim1\ldots10\ \text{Па}. \]Грубая оценка «в лоб»: \(P_s\sim j\langle v\rangle\sim4\cdot10^{-5}\cdot10^3\sim0{,}04\) Па, без геометрического усиления (шарик мал, поток с него собирается с большой полной сферы). С геометрией \(L/a=10\) давление на шарике в \(\sim(L/a)^2\) раз больше потока на площадке, \(P_s\sim\) несколько паскаль.
На графике \(P_s(T)\) алюминия единицы–десятки паскаль лежат в районе 1650–1800 К. Оценка задачника
\[ T\approx1720\ \text{К}. \]Это уже выше температуры плавления Al (933 К): шарик — расплавленная капля, что для напыления нормально.
Давление пара алюминия растёт экспоненциально, поэтому ошибка в \(P_s\) в десять раз сдвигает \(T\) всего на 50–80 К. Ответ устойчив. Слишком низкая температура (1400 К) дала бы плёнку в сотни раз тоньше; слишком высокая (2000 К) — шарик испарился бы за секунды, а не за минуту. График ловит окно однозначно.