В 100 г воды при температуре \(10^\circ\mathrm{C}\) опущено 40 г льда, имеющего температуру \(-10^\circ\mathrm{C}\). При каком соотношении воды и льда возникнет состояние теплового равновесия в этой системе, если она теплоизолирована? Удельная теплоёмкость льда 2,5 кДж/(кг·К).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Вода: \(m_{\text{в}}=100\) г \(=0{,}1\) кг, \(t=10^\circ\mathrm{C}\). Лёд: \(m_{\text{л}}=40\) г \(=0{,}04\) кг, \(t=-10^\circ\mathrm{C}\), \(c_{\text{л}}=2{,}5\) кДж/(кг·К).
Тепло, которое отдаст вода, остывая до \(0^\circ\mathrm{C}\):
\[ Q_{\text{в}}=0{,}1\cdot4{,}18\cdot10=4{,}18\ \text{кДж}. \]Тепло, которое заберёт лёд, нагреваясь от \(-10\) до \(0\):
\[ Q_{\text{л}}=0{,}04\cdot2{,}5\cdot10=1{,}0\ \text{кДж}. \]Остаток \(4{,}18-1{,}0=3{,}18\) кДж идёт на плавление. Растает
\[ \Delta m=\frac{3{,}18}{334}\approx0{,}0095\ \text{кг}=9{,}5\ \text{г} \]льда. Это меньше 40 г, значит, весь лёд не растает, равновесие — смесь при \(0^\circ\mathrm{C}\):
\[ m_{\text{воды}}=100+9{,}5=109{,}5\ \text{г},\qquad m_{\text{льда}}=40-9{,}5=30{,}5\ \text{г}. \]В некоторых изданиях ответов стоит 100,5 г воды — туда забыли добавить растаявшие 9,5 г. Физически растаявшее — это вода, правильно 109,5 г и 30,5 г.
Сначала проверяем, хватит ли тепла остывающей до нуля воды, чтобы и нагреть лёд до нуля, и растопить его целиком. Вода даёт 4,2 кДж, нагрев льда забирает 1 кДж, на плавление остаётся 3,2 кДж — этого хватает на 9,5 г из 40. Весь лёд не растает, равновесие — смесь при \(0^\circ\mathrm{C}\).
Запас «на весь лёд» был бы 14 кДж, а вода даёт только 4 — далеко не хватает, смесь неизбежна. Сумма масс 140 г сохранилась. Если бы воды было 400 г, льда бы не осталось, и равновесие ушло бы выше нуля. Граница «хватит / не хватит» — полезная привычка в таких задачах, её стоит делать раньше арифметики.