Оцените толщину льда, образующегося за сутки на поверхности озера при температуре воздуха \(-10^\circ\mathrm{C}\). Теплопроводность льда 2,2 Вт/(м·К), его плотность \(0{,}9\cdot10^3\) кг/м\(^3\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В момент, когда толщина льда равна \(x\), градиент температуры в нём \(\Delta T/x=10/x\) К/м. Тепловой поток вниз (на единицу площади)
\[ j=\frac{\varkappa\Delta T}{x}. \]За время \(dt\) намерзает слой \(dx\), на это нужно \(\rho\lambda\,dx\). Баланс
\[ \rho\lambda\,\frac{dx}{dt}=\frac{\varkappa\Delta T}{x}\qquad\Longrightarrow\qquad x\,dx=\frac{\varkappa\Delta T}{\rho\lambda}\,dt. \]Интегрируем от \(x=0\) при \(t=0\):
\[ \frac{x^2}{2}=\frac{\varkappa\Delta T}{\rho\lambda}\,t,\qquad x=\sqrt{\frac{2\varkappa\Delta T}{\rho\lambda}\,t}. \]Сутки \(t=86400\) с, \(\varkappa=2{,}2\) Вт/(м·К), \(\rho=900\) кг/м\(^3\), \(\lambda=3{,}3\cdot10^5\) Дж/кг, \(\Delta T=10\) К:
\[ x=\sqrt{\frac{2\cdot2{,}2\cdot10\cdot86400}{900\cdot3{,}3\cdot10^5}} =\sqrt{\frac{3{,}80\cdot10^6}{2{,}97\cdot10^8}}=\sqrt{0{,}0128}\approx0{,}11\ \text{м}. \]За сутки нарастает около 11 см льда. Дальше рост замедляется: чем толще лёд, тем хуже тепло уходит.
За четверо суток толщина только удвоится. При \(\Delta T=20\) К толщина вырастет в \(\sqrt{2}\) раз, до 16 см. Размерность сходится: \(\varkappa t/(\rho\lambda)\) есть метры в квадрате. Рыбаки это знают без формулы — и формула их подтверждает: за сутки при минус десяти около 11 см.