Савченко · Глава 5. Молекулярная физика · § 5.11. Тепловое излучение

Савченко, задача 5.11.11

Задача 5.11.11две серые пластины

Условие

Определите тепловой поток (тепловую мощность), передаваемый от одной параллельной пластины к другой, если температура пластин \(T_1\) и \(T_2\), а степень черноты соответственно \(\varepsilon_1\) и \(\varepsilon_2\). Площадь каждой пластины \(S\), зазор между пластинами много меньше их размеров.

К задаче 5.11.11. Узкий зазор: каждый луч, ушедший от одной пластины, попадёт на другую.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Серая пластина не только светит, но и отражает долю \(1-\varepsilon\) того, что на неё упало. Между двумя близкими пластинами луч гуляет туда-сюда много раз. Удобно ввести радиситет \(J\) — полный уходящий поток (своё излучение плюс отражение) — и написать баланс.

Обозначим \(J_1\) полный поток, который уходит от первой пластины ко второй, \(J_2\) — навстречу. Тогда

\[ J_1=\varepsilon_1\sigma T_1^4+(1-\varepsilon_1)J_2, \] \[ J_2=\varepsilon_2\sigma T_2^4+(1-\varepsilon_2)J_1. \]

Первое слагаемое — собственное излучение, второе — отражённый чужой радиситет. Полезный тепловой поток — это разность:

\[ q=J_1-J_2. \]

Вычтем уравнения и подставим \(J_1=J_2+q\):

\[ q=\varepsilon_1\sigma T_1^4-\varepsilon_1 J_2=\varepsilon_1\sigma T_1^4-\varepsilon_1(J_1-q). \] Отсюда \(J_1=\sigma T_1^4-q(1-\varepsilon_1)/\varepsilon_1\). Аналогично \(J_2=\sigma T_2^4+q(1-\varepsilon_2)/\varepsilon_2\). Вычитаем:

\[ q=\sigma(T_1^4-T_2^4)-q\Bigl(\frac{1-\varepsilon_1}{\varepsilon_1}+\frac{1-\varepsilon_2}{\varepsilon_2}\Bigr). \] \[ q\Bigl(1+\frac{1}{\varepsilon_1}-1+\frac{1}{\varepsilon_2}-1\Bigr)=\sigma(T_1^4-T_2^4), \] \[ q=\frac{\sigma(T_1^4-T_2^4)}{1/\varepsilon_1+1/\varepsilon_2-1} =\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2-\varepsilon_1\varepsilon_2}\,\sigma(T_1^4-T_2^4). \]

Полный поток через площадь \(S\):

\[ \Phi=\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2-\varepsilon_1\varepsilon_2}\,\sigma S(T_1^4-T_2^4). \]

Проверка. Обе абсолютно чёрные: \(\varepsilon_1=\varepsilon_2=1\), знаменатель 1, \(\Phi=\sigma S(T_1^4-T_2^4)\) — как и должно быть, отражений нет. Если вторая чёрная (\(\varepsilon_2=1\)), \(\Phi=\varepsilon_1\sigma S(T_1^4-T_2^4)\): чёрная всё глотает, и работает только степень черноты первой. Оба предела живые.

Ответ\(\Phi=\dfrac{\varepsilon_1\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2-\varepsilon_1\varepsilon_2}\sigma S(T_1^4-T_2^4)\).

Следующая задача 5.11.12 →