Температура \(T\) средней нагретой пластины поддерживается постоянной.
а. Чему равна температура внешних экранирующих пластин?
б. Сколько экранирующих пластин нужно поставить с обеих сторон, чтобы уменьшить температуру внешней экранирующей пластины до \(T/2\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. По одному экрану с каждой стороны. Средняя пластина горячая, температура \(T\) задана. Внешний экран имеет температуру \(T'\). Поток в зазоре (чёрные пластины)
\[ q=\sigma(T^4-T'^4). \] Тот же поток экран обязан сбросить наружу своей внешней стороной: \[ q=\sigma T'^4 \] (снаружи 0 К, встречного излучения нет). Значит \[ T^4-T'^4=T'^4,\qquad T'^4=\frac{T^4}{2},\qquad T'=\frac{T}{2^{1/4}}. \]б. По \(n\) экранов с каждой стороны. Цепочка температур \(T>T_1>T_2>\dots>T_n\), снаружи снова 0 К. Одинаковый поток:
\[ q=\sigma(T^4-T_1^4)=\sigma(T_1^4-T_2^4)=\cdots=\sigma(T_{n-1}^4-T_n^4)=\sigma T_n^4. \] От \(T^4\) до \(T_n^4\) — ровно \(n\) одинаковых ступенек, и ещё одна такая же ступенька \(T_n^4-0\). Всего \(n+1\) равных кусков, на которые делится \(T^4\): \[ T^4=(n+1)\,T_n^4,\qquad T_n=\frac{T}{(n+1)^{1/4}}. \]Хотим \(T_n=T/2\), то есть \(T_n^4=T^4/16\). Тогда \(n+1=16\), \(n=15\). С каждой стороны нужно 15 экранов, с обеих сторон вместе — 30.
В «Ответах» книги стоит \(n=32\), то есть \(2\times16\): так получается, если написать \(T_n^4=T^4/n\) и забыть, что излучение наружу — это ещё одна, \((n+1)\)-я ступенька. Правильный счёт даёт 15 с каждой стороны; проверка — при \(n=1\) та же формула \(T_n=T/(n+1)^{1/4}\) возвращает книжный же ответ пункта а.