Накальная нить радиуса \(r\) экранируется тремя цилиндрами радиусов \(R\), \(2R\) и \(3R\). Температура нити \(T_0\). Определите температуру внешнего экрана. Материал нити и экранов одинаков, \(\varepsilon=1\).
К задаче 5.11.13. Нить и три соосных чёрных цилиндра.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Между двумя чёрными соосными цилиндрами поток с единицы длины равен потоку, который испускает внутренний цилиндр, минус то, что возвращает внешний. У внешнего коэффициент видимости внутреннего равен отношению радиусов, и в итоге \(q=2\pi a\sigma(T_a^4-T_b^4)\), где \(a\) — меньший радиус. Снаружи последний экран светит в пустоту.
Почему именно меньший радиус. Нить площади \(2\pi r\) (на единицу длины) испускает \(2\pi r\sigma T_0^4\). Первый экран испускает внутрь \(2\pi R\sigma T_1^4\), но до нити доходит только доля \(r/R\) этого потока. Нетто:
\[ q=2\pi r\sigma T_0^4-2\pi R\sigma T_1^4\cdot\frac{r}{R}=2\pi r\sigma(T_0^4-T_1^4). \]
Точно так же в каждом следующем зазоре «работающим» радиусом оказывается внутренний.
Проверка. Если нить толстая, \(r\sim R\), экраны не очень помогают: знаменатель \(\sim(8{,}5)^{1/4}\approx1{,}7\), внешний экран всего в 1,7 раза холоднее нити. Если нить тонкая, \(r\ll R\), почти вся «сопротивляемость» сидит в первом зазоре, \(T_3\sim T_0(r/3R)^{1/4}\) — внешний экран заметно холоднее, как и должно быть: с тонкой нити мало потока.
Ответ\(T=T_0/(5{,}5+3R/r)^{1/4}\).
Примечание. В «Ответах» книги \(T=T_0/(6{,}5+4R/r)^{1/4}\) —
по-видимому, ошибка: цепочка равных потоков даёт
\(T_0^4/T_3^4=3R\bigl(\tfrac1r+\tfrac1R+\tfrac1{2R}+\tfrac1{3R}\bigr)=\tfrac{3R}{r}+3+1{,}5+1=\tfrac{3R}{r}+5{,}5\),
а слагаемые \(4R/r\) и \(6{,}5\) при радиусах \(R\), \(2R\), \(3R\) не получаются ни при
каком счёте ступенек.