В вакуумной камере нагреваемая металлическая плоскость экранирована с двух сторон пластинами толщины \(h\). Степень черноты плоскости и пластин \(\varepsilon\), теплопроводность пластин \(\varkappa\). Температура пластин с внешних сторон \(T_1\), температура камеры \(T_2\). Определите температуру металлической плоскости.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Камера большая, её стены можно считать чёрными. Внешняя грань серой пластины тогда отдаёт в камеру
\[ q=\varepsilon\sigma(T_1^4-T_2^4). \]Тот же поток течёт через пластину теплопроводностью:
\[ q=\varkappa\frac{T_{\text{вн}}-T_1}{h}\qquad\Longrightarrow\qquad T_{\text{вн}}=T_1+\frac{qh}{\varkappa}=T_1+\frac{\varepsilon\sigma h}{\varkappa}(T_1^4-T_2^4). \]В вакуумном зазоре две одинаковые серые поверхности. По формуле 5.11.11
\[ q=\frac{\varepsilon}{2-\varepsilon}\,\sigma\bigl(T^4-T_{\text{вн}}^4\bigr), \] \[ T^4=T_{\text{вн}}^4+\frac{2-\varepsilon}{\varepsilon\sigma}\,q =T_{\text{вн}}^4+(2-\varepsilon)(T_1^4-T_2^4). \]Подставляем \(T_{\text{вн}}\):
\[ T=\Biggl[ \Biggl(T_1+\frac{\varepsilon\sigma h}{\varkappa}(T_1^4-T_2^4)\Biggr)^4 +(2-\varepsilon)(T_1^4-T_2^4) \Biggr]^{1/4}. \]С другой стороны — такая же картинка, поток удваивается только если считать обе стороны сразу; на температуру плоскости это не влияет: каждая сторона сама справляется со своей половиной тепла.