Энергия фотона связана с импульсом \(p=E/c\). Докажите, что давление фотонного газа \(P=w/3\), где \(w\) — плотность энергии.
К задаче 5.11.15. При отражении стенке передаётся \(2(E/c)\cos\theta\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Давление — это импульс, который фотоны отдают стенке за секунду на единицу площади. У фотона \(p=E/c\), как у ультрарелятивистской частицы, и после усреднения по углам вылезает та же единица на три, что у света в электромагнетизме.
Пусть в единице объёма \(n\) фотонов средней энергии \(E\), тогда \(w=nE\). На площадку стенки в телесном угле \(d\Omega\) за секунду падает
\[ dn_{\text{уд}}=n\cdot c\cos\theta\cdot\frac{d\Omega}{4\pi} \]
фотонов (долетают только те, что летят к стенке, \(\theta<\pi/2\)). Каждый при зеркальном отражении меняет нормальную составляющую импульса с \(+(E/c)\cos\theta\) на \(-(E/c)\cos\theta\) и отдаёт стенке \(2(E/c)\cos\theta\). (Если стенка чёрная и потом изотропно переизлучает, среднее получается тем же.)
Давление — интеграл по полусфере:
\[ P=\int n c\cos\theta\cdot 2\frac{E}{c}\cos\theta\cdot\frac{d\Omega}{4\pi}
=nE\int_0^{\pi/2}2\cos^2\theta\cdot\frac{2\pi\sin\theta\,d\theta}{4\pi}. \]
Подстановка \(\mu=\cos\theta\), \(d\mu=-\sin\theta\,d\theta\), \(\mu\) от 1 до 0:
\[ P=nE\int_0^1\mu^2\,d\mu=\frac{nE}{3}=\frac w3. \]
Множитель \(1/3\) — это среднее \(\langle\cos^2\theta\rangle\) по полусфере с весом \(\cos\theta\). Ровно поэтому у электромагнитной волны давление на чёрную стенку равно плотности энергии, делённой на три, а не плотности энергии целиком.
Проверка. Для обычного идеального газа \(P=\tfrac23(n\cdot\tfrac32 kT)=\tfrac23 w_{\text{кин}}\). У фотона \(E=pc\) вместо \(E=p^2/2m\), и \(\tfrac23\) сменяется на \(\tfrac13\). Внутри Солнца и в ранней Вселенной как раз \(P=w/3\).