«…Космическая яхта представляет собой нечто вроде сферы, внешняя оболочка которой — необычайно тонкий и лёгкий парус — вздувалась и перемещалась в пространстве, улавливая давление световых лучей… Если бы этот кораблик остался без управления поблизости от какой-либо звезды… и сила притяжения была невелика, он устремился бы прочь от звезды по прямой линии» (Буль П. Планета обезьян // Библиотека современной фантастики. 1967. Т. 13. С. 27).
а. Какое максимальное ускорение может развить эта космическая яхта на расстоянии \(R\) от звезды, если поток излучения звезды \(\Phi\), площадь паруса \(S\), масса яхты \(m\)?
б\(^*\). Какую скорость приобрела бы яхта, пройдя под действием излучения расстояние по радиусу от \(R_1\) до \(R_2\)? Парус полностью отражает излучение.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Освещённость паруса \[ I=\frac{\Phi}{4\pi R^2}. \] Давление на полностью отражающий парус, стоящий перпендикулярно лучам (это и есть максимум),
\[ P=\frac{2I}{c}=\frac{\Phi}{2\pi R^2 c}. \] Сила \(F=PS\), ускорение \[ a=\frac{F}{m}=\frac{S\Phi}{2\pi R^2 mc}. \]б. Ускорение зависит от расстояния: \(a(R)=k/R^2\), где \(k=S\Phi/(2\pi mc)\). Пишем \(v\,dv/dR=a\):
\[ v\,dv=\frac{k}{R^2}\,dR. \] Интегрируем от старта \(R_1\), \(v=0\) до \(R_2\): \[ \frac{v^2}{2}=k\Bigl(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\Bigr), \] \[ v=\sqrt{2k\Bigl(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\Bigr)} =\sqrt{\Bigl(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\Bigr)\frac{S\Phi}{\pi mc}}. \]