Савченко · Глава 5. Молекулярная физика · § 5.11. Тепловое излучение

Савченко, задача 5.11.3

Задача 5.11.3плотность энергии излучения

Условие

Определите плотность энергии теплового излучения в полости тела с температурой \(T\). Скорость света \(3\cdot10^8\) м/с.

К задаче 5.11.3. Из маленькой дырки полости вытекает поток чёрного тела \(\sigma T^4\).

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Внутри замкнутой полости фотоны летают во все стороны со скоростью \(c\). Через маленькую дырку наружу выходит только та доля, которая летит «в полупространство» и ещё спроектирована на нормаль. Эта доля равна \(1/4\), поэтому поток \(\sigma T^4\) и плотность энергии \(w\) связаны простым правилом \(\sigma T^4=cw/4\).

Пусть в единице объёма сидит энергия \(w\). За время \(dt\) до площадки \(dS\) добегут те фотоны, которые находятся в наклонном цилиндре длины \(c\,dt\) с основанием \(dS\cos\theta\). Усреднение по полусфере даёт знаменитый множитель \(1/4\):

\[ \varphi=\int\limits_{\theta=0}^{\pi/2} w\,c\cos\theta\cdot\frac{d\Omega}{4\pi} =\frac{wc}{4\pi}\cdot 2\pi\int_0^1\mu\,d\mu=\frac{cw}{4}. \]

Но поток из отверстия абсолютно чёрный, \(\varphi=\sigma T^4\). Значит

\[ w=\frac{4\sigma T^4}{c}. \]

Подставляем числа: \[ \frac{4\sigma}{c}=\frac{4\cdot5{,}67\cdot10^{-8}}{3\cdot10^8}=7{,}56\cdot10^{-16}\ \frac{\text{Дж}}{\text{м}^3\cdot\text{К}^4}, \] \[ w=7{,}56\cdot10^{-16}\,T^4\ \frac{\text{Дж}}{\text{м}^3}. \]

Проверка. В комнате \(T=300\) К: \(w\sim7{,}6\cdot10^{-16}\cdot8{,}1\cdot10^9\sim6\cdot10^{-6}\) Дж/м\(^3\). Для сравнения, тепловая энергия воздуха \(\tfrac32 n kT\sim10^5\) Дж/м\(^3\) — в десять миллиардов раз больше. Излучение «весит» ничтожно, пока температура не станет солнечной: при 6000 К уже \(w\sim1\) Дж/м\(^3\).

Ответ\(w=7{,}56\cdot10^{-16}\,T^4\) Дж/м\(^3\).

Следующая задача 5.11.4 →