а. Определите температуру металлического шара вблизи плоской чёрной поверхности, нагретой до \(T_0\).
б. Определите температуру шара между двумя параллельными чёрными плоскостями с температурами \(T_1\) и \(T_2\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. У шара коэффициент излучения \(\varepsilon\), по Кирхгофу коэффициент поглощения тот же. Шар испускает \[ \Phi_{\text{изл}}=4\pi R^2\varepsilon\sigma T^4. \]
Чёрная плоскость заполняет половину неба. На любую площадку, которую целиком «накрыла» чёрная плоскость температуры \(T_0\), падает поток \(\sigma T_0^4\). У шара половина обзора — плоскость, половина — холодная пустота (0 К). Средняя облучённость поверхности шара равна \(\sigma T_0^4/2\), и он поглощает
\[ \Phi_{\text{погл}}=4\pi R^2\varepsilon\cdot\frac12\sigma T_0^4. \]Приравниваем: \[ \varepsilon\sigma T^4=\frac12\varepsilon\sigma T_0^4\qquad\Longrightarrow\qquad T=\frac{T_0}{2^{1/4}}. \]
Степень черноты сократилась: и серый, и чёрный шар в этом опыте нагреются одинаково.
б. Теперь небо закрыто целиком: сверху плоскость \(T_1\), снизу — \(T_2\). Каждая занимает половину обзора, поэтому
\[ \sigma T^4=\frac12\sigma T_1^4+\frac12\sigma T_2^4,\qquad T=\Biggl(\frac{T_1^4+T_2^4}{2}\Biggr)^{1/4}. \]