а. Шар радиуса \(R\) нагрет до \(T_0\), степень черноты \(\varepsilon\). Температура сферической пылинки на расстоянии \(L\) от центра.
б. Оцените плотность энергии, приходящей с Солнца на Землю, если средняя температура поверхности Земли \(20^\circ\mathrm{C}\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Полная мощность шара \(4\pi R^2\varepsilon\sigma T_0^4\). На расстоянии \(L\) плотность потока
\[ I=\frac{4\pi R^2\varepsilon\sigma T_0^4}{4\pi L^2}=\varepsilon\sigma T_0^4\Bigl(\frac{R}{L}\Bigr)^2. \]Пылинка радиуса \(a\) (считаем её чёрной: \(\alpha=\varepsilon_{\text{п}}=1\)) поглощает \(I\cdot\pi a^2\) и излучает \(4\pi a^2\sigma T^4\):
\[ 4\pi a^2\sigma T^4=I\pi a^2\qquad\Longrightarrow\qquad T^4=\frac{I}{4}=\varepsilon T_0^4\Bigl(\frac{R}{2L}\Bigr)^2. \] \[ T=T_0\bigl[\varepsilon(R/2L)^2\bigr]^{1/4}=T_0\,\varepsilon^{1/4}\sqrt{R/(2L)}. \]Степень черноты самой пылинки сокращается: она одинаково входит в поглощение и в излучение.
б. Земля в среднем имеет \(T=20^\circ\mathrm{C}=293\) К и светит почти как чёрное тело со всей сферы:
\[ \sigma T^4=5{,}67\cdot10^{-8}\cdot293^4. \quad 293^2=85849,\quad 293^4\approx7{,}37\cdot10^9, \] \[ \sigma T^4\approx418\ \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2}. \]Солнце освещает только диск Земли площади \(\pi R^2\), а Земля излучает с \(4\pi R^2\). Баланс:
\[ \varphi\cdot\pi R^2=4\pi R^2\cdot\sigma T^4\qquad\Longrightarrow\qquad \varphi=4\sigma T^4\approx1{,}67\ \frac{\text{кВт}}{\text{м}^2}\approx1{,}7\ \frac{\text{кВт}}{\text{м}^2}. \]