Задача 5.2.1пересчёт по интервалам
Условие
В 1 см³ при давлении 0,1 МПа находится \(2{,}7\cdot10^{19}\) молекул азота. Число молекул, вертикальная составляющая скорости которых лежит в интервале от 999 до 1001 м/с, равно \(1{,}3\cdot10^{12}\).
а. Какое число таких молекул содержится в 1 л азота?
б. Сколько молекул азота, имеющих вертикальную составляющую скорости в интервалах \(1000\pm0{,}1\) и \(1000\pm10\) м/с, содержится в 1 м³? Считать, что число молекул, обладающих скоростью в некотором интервале, пропорционально этому интервалу.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Два простых правила: число молекул пропорционально объёму и (для узкого интервала)
пропорционально ширине интервала. Больше ничего не нужно.
а. 1 л = 1000 см³:
\[ N = 1{,}3\cdot10^{12}\cdot10^3 = \boxed{1{,}3\cdot10^{15}\ \text{л}^{-1}} \]б. 1 м³ = \(10^6\) см³. Исходный интервал имел ширину 2 м/с.
Интервал \(1000\pm0{,}1\) — ширина 0,2 м/с, то есть в 10 раз у́же:
\[ N_1 = 1{,}3\cdot10^{12}\cdot10^{6}\cdot\frac1{10} = \boxed{1{,}3\cdot10^{17}\ \text{м}^{-3}} \]Интервал \(1000\pm10\) — ширина 20 м/с, то есть в 10 раз шире:
\[ N_2 = 1{,}3\cdot10^{12}\cdot10^{6}\cdot10 = \boxed{1{,}3\cdot10^{19}\ \text{м}^{-3}} \]Проверка.
Доля «быстрых» молекул: \(1{,}3\cdot10^{12}/2{,}7\cdot10^{19}=4{,}8\cdot10^{-8}\) ✓ —
очень мало, ведь 1000 м/с для азота при комнатной температуре — это примерно
\(2{,}4\) среднеквадратичной скорости.
Пропорциональность ширине законна, пока интервал узкий по сравнению с самой скоростью ✓:
даже 20 м/с — это 2 % от 1000 м/с.
Ответ \(N_2\) — почти половина всех молекул? Нет: \(1{,}3\cdot10^{19}\) м⁻³ против
\(2{,}7\cdot10^{25}\) м⁻³ всего ✓ — по-прежнему ничтожная доля.
Ответ
а. \(1{,}3\cdot10^{15}\) в литре.
б. \(1{,}3\cdot10^{17}\) и \(1{,}3\cdot10^{19}\) в кубометре.