Задача 5.2.2независимость проекций
Условие
Распределения молекул по проекциям \(v_i\) скорости на оси координат \((i=x,y,z)\) взаимно независимы. Пользуясь этим, определите в задаче 5.2.1 число молекул азота в 1 см³, горизонтальная составляющая скорости которых, так же как и вертикальная, лежит в интервале от 999 до 1001 м/с; а также число молекул, у которых горизонтальная составляющая лежит в интервале \(1000\pm0{,}1\) м/с, а вертикальная — в интервале \(1000\pm2\) м/с.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Независимость означает: чтобы получить долю молекул, у которых обе проекции попали
в свои интервалы, надо доли перемножить.
Доля по одной проекции (из задачи 5.2.1, интервал шириной 2 м/с):
\[ w = \frac{1{,}3\cdot10^{12}}{2{,}7\cdot10^{19}} = 4{,}8\cdot10^{-8}. \]Первый случай — оба интервала по 2 м/с:
\[ N_1 = N\,w^2 = 2{,}7\cdot10^{19}\cdot\left(4{,}8\cdot10^{-8}\right)^2 \approx \boxed{6{,}2\cdot10^{4}\ \text{см}^{-3}} \]Второй случай — горизонтальный интервал в 10 раз у́же \((w/10)\), вертикальный вдвое шире \((2w)\):
\[ N_2 = N\cdot\frac{w}{10}\cdot 2w = \frac{N w^2}{5} \approx \boxed{1{,}2\cdot10^{4}\ \text{см}^{-3}} \]Проверка.
Второй ответ ровно в 5 раз меньше первого ✓ — как и должно быть по ширинам
(\(0{,}1\cdot2 = 0{,}2\) против единицы).
Число упало с \(10^{12}\) до \(10^{4}\) ✓ — каждое дополнительное условие «съедает»
множитель \(5\cdot10^{-8}\).
Из \(2{,}7\cdot10^{19}\) молекул лишь несколько десятков тысяч имеют сразу две большие
проекции ✓ — наглядная иллюстрация того, как быстро падает максвелловское распределение.
Ответ
\(N_1\approx6{,}2\cdot10^4\) см⁻³, \(N_2\approx1{,}2\cdot10^4\) см⁻³.