Савченко · Глава 5. Молекулярная физика · § 5.2. Распределение молекул газа по скоростям

Савченко, задача 5.2.3

Задача 5.2.3функция распределения Максвелла

Условие

Число молекул однородного идеального газа \(dN\), скорость которых вдоль произвольной оси \(x\) лежит в интервале \((v_x, v_x+dv_x)\), определяется распределением Максвелла:

\[ dN = N\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_x^2}{2kT}\right)dv_x = N f(v_x)\,dv_x. \]

Используя эту функцию для азота при \(T=293\) K, найдите: а) сколько в 1 см³ воздуха содержится молекул азота, имеющих в некотором направлении скорость в интервале от 499 до 501 м/с; б) сколько в 1 м³ содержится молекул азота со скоростью в этом направлении в интервале от 498 до 502 м/с, если число молекул азота в 1 см³ равно \(2\cdot10^{19}\).

К задаче 5.2.3 (рисунок из условия, перерисован)

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Подставляем числа в формулу Максвелла. Интервалы узкие, поэтому \(dN = Nf(v_x)\Delta v\).

Считаем показатель. Масса молекулы азота

\[ m = \frac{28\cdot10^{-3}}{6{,}02\cdot10^{23}} = 4{,}65\cdot10^{-26}\ \text{кг}, \qquad kT = 4{,}04\cdot10^{-21}\ \text{Дж}, \] \[ \frac{m}{2kT} = 5{,}75\cdot10^{-6}\ \frac{\text{с}^2}{\text{м}^2},\qquad \sqrt{\frac{m}{2\pi kT}} = 1{,}35\cdot10^{-3}\ \frac{\text{с}}{\text{м}}. \]

Значение функции при 500 м/с:

\[ f(500) = 1{,}35\cdot10^{-3}\,e^{-5{,}75\cdot10^{-6}\cdot2{,}5\cdot10^{5}} = 1{,}35\cdot10^{-3}\,e^{-1{,}44} = 3{,}2\cdot10^{-4}\ \frac{\text{с}}{\text{м}}. \]

а. \(\Delta v = 2\) м/с:

\[ N_1 = 2\cdot10^{19}\cdot3{,}2\cdot10^{-4}\cdot2 \approx \boxed{1\cdot10^{16}\ \text{см}^{-3}} \]

б. Объём в \(10^6\) раз больше, интервал вдвое шире:

\[ N_2 = N_1\cdot10^6\cdot2 \approx \boxed{2\cdot10^{22}\ \text{м}^{-3}} \]

Проверка. Доля молекул: \(f\Delta v = 6{,}4\cdot10^{-4}\) ✓ — примерно 0,06 %; скорость 500 м/с для азота при 293 К — чуть больше среднеквадратичной (511 м/с), так что доля правдоподобна. Размерность \(f\): с/м, и \(f\Delta v\) безразмерно ✓. Максимум функции при \(v_x=0\): \(f(0)=1{,}35\cdot10^{-3}\) с/м ✓ — в четыре раза больше, чем при 500 м/с. Сравнение с задачей 5.2.1: там при 1000 м/с доля была \(4{,}8\cdot10^{-8}\), здесь при 500 м/с — \(6{,}4\cdot10^{-4}\), то есть в \(1{,}3\cdot10^4\) раз больше ✓; и правда \(e^{-1{,}44}/e^{-5{,}75}\cdot\ldots\) — экспонента режет очень быстро.

Ответ а. \(\approx10^{16}\) см⁻³. б. \(\approx2\cdot10^{22}\) м⁻³.

Следующая задача 5.2.4 →