Задача 5.2.11молекулы на экране
Условие
Представим, что удалось сфотографировать на киноплёнку молекулы газа, функция распределения которых по скоростям \(f(v)\).
а. Найдите функцию распределения «частиц» — изображений молекул на экране — по скоростям, если увеличение, с которым изображение проецируется на экран, равно \(l\).
б. Киноплёнку при воспроизведении начали прокручивать в \(k\) раз быстрее, чем при съёмке. Найдите функцию распределения «частиц» по скоростям в этом случае.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Скорости изображений в \(l\) (или \(kl\)) раз больше настоящих. Функция распределения
при этом не просто «растягивается» — она ещё и «оседает» по высоте, потому что полная
площадь под графиком всегда равна единице.
а. Изображение движется со скоростью \(v' = lv\). Число частиц, попавших в интервал \((v',v'+dv')\), то же, что было в \((v,v+dv)\):
\[ f'(v')\,dv' = f(v)\,dv, \qquad dv' = l\,dv, \] \[ \boxed{f'(v) = \frac1l\,f\!\left(\frac vl\right)} \]б. Прокрутка в \(k\) раз быстрее умножает все скорости ещё на \(k\):
\[ \boxed{f'(v) = \frac1{kl}\,f\!\left(\frac{v}{kl}\right)} \]Проверка нормировки.
\(\displaystyle\int f'(v)dv = \int \frac1l f\!\left(\frac vl\right)dv
= \int f(u)\,du = 1\) ✓ — как и должно быть.
Средняя скорость изображений в \(l\) раз больше ✓, среднеквадратичная тоже ✓.
Если \(f\) была максвелловской при температуре \(T\), то \(f'\) — максвелловская при
температуре \(l^2T\) (или \((kl)^2T\)) ✓ — «нагрев» изображения.
Предельный случай \(l=1\), \(k=1\) возвращает исходную функцию ✓.
Ответ
а. \(f'(v)=\frac1l f(v/l)\). б. \(f'(v)=\frac1{kl}f(v/(kl))\).