Задача 5.2.12прямоугольное распределение
Условие
Скорости частиц, движущихся в потоке, имеют одно направление и лежат в интервале от \(v_0\) до \(2v_0\). График функции распределения имеет вид прямоугольника. Чему равно значение функции распределения? Как изменяется функция распределения, если на частицы в течение времени \(\tau\) вдоль их скорости действует сила \(F\)? Масса каждой частицы \(m\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Площадь под графиком функции распределения всегда равна единице. Прямоугольник шириной
\(v_0\) — значит его высота \(1/v_0\). А одинаковая для всех сила меняет все скорости
на одну и ту же величину: график просто сдвигается.
Нормировка. Ширина прямоугольника \(2v_0-v_0=v_0\), площадь равна 1:
\[ \boxed{f(v) = \frac1{v_0}\ \text{при } v_0\le v\le 2v_0,\quad f(v)=0\ \text{иначе}} \]Действие силы. За время \(\tau\) каждая частица получает одну и ту же добавку скорости
\[ \Delta v = \frac{F\tau}{m}. \]Значит весь прямоугольник целиком сдвигается: он занимает теперь интервал от \(v_0+\Delta v\) до \(2v_0+\Delta v\), а его высота остаётся \(1/v_0\).
\[ \boxed{f'(v) = f(v-F\tau/m)} \]Проверка.
Нормировка сохранилась ✓ — ширина и высота те же.
Разброс скоростей \(\Delta = v_0\) не изменился ✓ — сила одинакова для всех, «нагрева»
пучка нет.
Средняя скорость выросла ровно на \(F\tau/m\) ✓.
Обратите внимание: если бы сила действовала на заданном пути, а не в течение
заданного времени, разброс изменился бы (см. следующую задачу) ✓.
Ответ
\(f=1/v_0\) на \([v_0,2v_0]\); под действием силы график сдвигается на
\(\Delta v = F\tau/m\) в сторону больших скоростей.