Скорости частиц в пучке имеют одно направление и лежат в интервале от \(v\) до \(v+\Delta v\) \((\Delta v\ll v)\). В единице объёма пучка находится \(n\) частиц, масса каждой \(m\).
а. В течение времени \(\tau\) на частицы в направлении их движения действует сила \(F\). Определите интервал скоростей и число частиц в единице объёма после действия силы.
б. Определите интервал скоростей и число частиц в единице объёма после прохождения области, где на расстоянии \(l\) вдоль направления движения на частицы действовала сила \(F\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Сила в течение времени \(\tau\). Каждая частица получает \(\Delta v_1 = F\tau/m\):
\[ \boxed{v_{\min}=v+\frac{F\tau}{m},\quad v_{\max}=v+\frac{F\tau}{m}+\Delta v,\quad n'=n} \]Концентрация не изменилась: все частицы сдвинулись одинаково, взаимные расстояния те же.
б. Сила на пути \(l\). Работает закон сохранения энергии:
\[ \frac{mv'^2}{2}=\frac{mv^2}{2}+Fl \quad\Longrightarrow\quad v' = v\sqrt{1+\frac{2Fl}{mv^2}}. \] \[ \boxed{v_{\min} = v\sqrt{1+\frac{2Fl}{mv^2}}, \qquad v_{\max} = (v+\Delta v)\sqrt{1+\frac{2Fl}{m(v+\Delta v)^2}}} \]Разложив по малому \(\Delta v\), получаем новую ширину интервала:
\[ \Delta v' \approx \frac{\Delta v}{\sqrt{1+2Fl/(mv^2)}}. \]Концентрация. Поток частиц через любое сечение один и тот же, \(n'v'=nv\):
\[ \boxed{n' = \frac{n}{\sqrt{1+2Fl/(mv^2)}}} \]