а. Пусть создан пучок одинаковых молекул с функцией распределения \(f(v_x)=2\sqrt{\alpha/\pi}\,\exp(-\alpha v_x^2)\), \(\alpha>0\). Масса молекулы \(m\). Как изменится число молекул в единице объёма, если пучок пройдёт область протяжённости \(l\), в которой на каждую молекулу действует тормозящая сила \(F\)?
б. Плотность частиц вблизи поверхности Земли \(\rho_0\), их температура \(T\), масса частиц \(m\). Частицы имеют максвелловское распределение по скоростям. Определите плотность частиц и распределение частиц по скоростям на высоте \(h\) над Землёй.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Что происходит с каждой скоростью. Обозначим \(\beta = 2Fl/m\). Молекула, имевшая \(v\), приобретает
\[ v' = \sqrt{v^2-\beta}\qquad (\text{проходят только те, у кого } v^2>\beta). \]Сохранение потока. Число частиц, пересекающих сечение в секунду, не меняется: \(dn'\,v' = dn\,v\). Учитывая \(v\,dv = v'\,dv'\), получаем \(dn' = n f(v)\,dv\cdot\dfrac{v}{v'} = n f\!\left(\sqrt{v'^2+\beta}\right)dv'\).
Подставляем гауссиану:
\[ f\!\left(\sqrt{v'^2+\beta}\right) = 2\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\,e^{-\alpha(v'^2+\beta)} = e^{-\alpha\beta}\,f(v'). \]Экспонента вынеслась целиком! Значит вид распределения не изменился, а число частиц уменьшилось в
\[ \boxed{e^{\alpha\beta} = \exp\left(\frac{2F l\alpha}{m}\right)\ \text{раз}} \]б. Максвелловское распределение — это как раз наш случай с \(\alpha = m/(2kT)\), а тормозящая сила — тяжесть, \(F = mg\), путь \(l=h\):
\[ \frac{2F l\alpha}{m} = \frac{2\,mg\,h}{m}\cdot\frac{m}{2kT} = \frac{mgh}{kT}, \] \[ \boxed{\rho = \rho_0\,e^{-mgh/kT}} \]а распределение по скоростям на высоте \(h\) — то же самое максвелловское с той же температурой \(T\).