Задача 5.2.15масса пылинки
Условие
На высоте 3 км над поверхностью Земли в 1 см³ воздуха содержится примерно \(10^2\) пылинок, а у самой поверхности — примерно \(10^5\). Определите среднюю массу пылинки и оцените её размер, предполагая, что плотность пылинки 1,5 г/см³. Температура воздуха 27 °C.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Пылинки — те же «молекулы», только очень тяжёлые. К ним применима барометрическая формула,
а раз концентрация падает в \(10^3\) раз всего за 3 км, масса должна быть огромной по
молекулярным меркам.
\[ n = n_0\,e^{-mgh/kT} \quad\Longrightarrow\quad
\frac{mgh}{kT} = \ln\frac{n_0}{n} = \ln10^3 = 6{,}9, \]
\[ m = \frac{6{,}9\,kT}{gh}
= \frac{6{,}9\cdot1{,}38\cdot10^{-23}\cdot300}{9{,}8\cdot3000}
\approx 10^{-24}\ \text{кг}. \]
Размер. Считая пылинку шариком плотности \(1{,}5\cdot10^3\) кг/м³:
\[ r = \sqrt[3]{\frac{3m}{4\pi\rho}} = \sqrt[3]{\frac{3\cdot10^{-24}}{4\pi\cdot1{,}5\cdot10^{3}}} \approx 5\cdot10^{-10}\ \text{м}. \] \[ \boxed{m\approx10^{-24}\ \text{кг},\qquad r\approx10^{-9}\ \text{м}} \]Проверка.
Нанометр — это всего несколько молекул ✓; такие «пылинки» — это, по сути, крупные
молекулярные кластеры, а не привычная пыль.
Обратная проверка: настоящая пылинка размером 1 мкм имеет массу \(6\cdot10^{-15}\) кг, и
её концентрация падала бы в \(e\) раз уже на высоте \(kT/(mg)=7\cdot10^{-5}\) м ✓ —
такие пылинки просто оседают, их держит только турбулентность, а не тепловое движение.
Вывод задачи: приведённые в условии числа описывают не пыль, а мельчайшие аэрозольные
частицы ✓ — полезное отрезвляющее наблюдение.
Размерность: Дж/(м/с²·м) = кг ✓.
Ответ
\(m\approx10^{-24}\) кг, \(r\approx10^{-9}\) м.