Задача 5.2.16гелий и водород в атмосфере
Условие
У поверхности Земли молекул гелия почти в \(10^5\) раз, а водорода почти в \(10^6\) раз меньше, чем молекул азота. На какой высоте число молекул гелия будет равно числу молекул азота? водорода? Принять среднюю температуру атмосферы равной 0 °C.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Лёгкие газы «редеют» с высотой медленнее. Отношение их концентраций растёт как
\(\exp[(m_{\text{тяж}}-m_{\text{лёг}})gh/kT]\); приравняв его исходному дефициту,
найдём высоту.
\[ \frac{n_{\text{лёг}}}{n_{\text{N}_2}}
= \frac{n_{\text{лёг},0}}{n_{\text{N}_2,0}}
\exp\!\left[\frac{(m_{\text{N}_2}-m_{\text{лёг}})gh}{kT}\right] = 1, \]
\[ h = \frac{kT\,\ln(n_{\text{N}_2,0}/n_{\text{лёг},0})}
{(m_{\text{N}_2}-m_{\text{лёг}})\,g}. \]
Гелий. \(m_{\text{N}_2}-m_{\text{He}} = 24\cdot10^{-3}/N_A = 3{,}99\cdot10^{-26}\) кг, \(\ln10^5 = 11{,}5\), \(kT = 3{,}77\cdot10^{-21}\) Дж:
\[ h_1 = \frac{11{,}5\cdot3{,}77\cdot10^{-21}}{3{,}99\cdot10^{-26}\cdot9{,}8} \approx 1{,}1\cdot10^{5}\ \text{м} = \boxed{111\ \text{км}} \]Водород. \(m_{\text{N}_2}-m_{\text{H}_2} = 26\cdot10^{-3}/N_A = 4{,}32\cdot10^{-26}\) кг, \(\ln10^6 = 13{,}8\):
\[ h_2 = \frac{13{,}8\cdot3{,}77\cdot10^{-21}}{4{,}32\cdot10^{-26}\cdot9{,}8} \approx 1{,}23\cdot10^{5}\ \text{м} = \boxed{123\ \text{км}} \]Проверка.
Обе высоты — около сотни километров ✓, и это действительно граница, за которой атмосфера
становится «гелиевой», а ещё выше — водородной. Астрономы называют эти слои
гелиосферой и протоносферой ✓.
Водороду нужно подняться выше ✓ — его дефицит внизу вдесятеро сильнее, хотя и разность
масс чуть больше.
Модель груба ✓: на таких высотах атмосфера не изотермична (температура меняется от 200 до
1000 К), да и перемешивание до 100 км выравнивает состав. Поэтому реально разделение
начинается примерно с этих же высот — оценка честная.
Размерность: Дж/(кг·м/с²) = м ✓.
Ответ
\(h_1\approx111\) км (гелий), \(h_2\approx123\) км (водород).