Задача 5.2.5отношение чисел молекул
Условие
Найдите отношение числа молекул водорода, имеющих проекцию скорости на ось \(x\) в интервале от 3000 до 3010 м/с, к числу молекул водорода, имеющих проекцию скорости на ту же ось в интервале от 1500 до 1505 м/с. Температура водорода 300 K.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Отношение чисел — это отношение \(f(v)\Delta v\). Экспоненты считаем через показатель
\(mv^2/(2kT)\), предэкспоненциальный множитель одинаков и сокращается.
Показатель. \(m = 3{,}32\cdot10^{-27}\) кг, \(kT = 4{,}14\cdot10^{-21}\) Дж:
\[ \frac{m}{2kT} = 4{,}01\cdot10^{-7}\ \frac{\text{с}^2}{\text{м}^2}. \] \[ \frac{mv_1^2}{2kT} = 4{,}01\cdot10^{-7}\cdot9\cdot10^{6} = 3{,}61,\qquad \frac{mv_2^2}{2kT} = 4{,}01\cdot10^{-7}\cdot2{,}25\cdot10^{6} = 0{,}90. \]Отношение.
\[ n = \frac{e^{-3{,}61}\cdot10}{e^{-0{,}90}\cdot5} = 2\,e^{-2{,}71} = 2\cdot0{,}0666, \] \[ \boxed{n \approx 0{,}13} \]Проверка.
Интервал у «быстрых» вдвое шире, и это даёт множитель 2 в их пользу ✓ — без него
отношение было бы 0,067.
Экспонента режет в 15 раз ✓ при удвоении скорости — не так уж и много, потому что 1500 м/с
для водорода при 300 К всего лишь около среднеквадратичной (1930 м/с).
Проверка знака: быстрых меньше ✓.
Если бы речь шла об азоте, показатели были бы в 14 раз больше и отношение стало бы
астрономически малым ✓.
Ответ \(n\approx0{,}13\).