Задача 5.2.6три проекции сразу
Условие
Найдите отношение числа молекул водорода, имеющих проекцию скорости на ось \(x\) в интервале от 3000 до 3010 м/с, на ось \(y\) — от 3000 до 3010 м/с, на ось \(z\) — от 3000 до 3002 м/с, к числу молекул водорода с проекциями: на ось \(x\) от 1500 до 1505, на ось \(y\) от 1500 до 1501, на ось \(z\) от 1500 до 1502 м/с. Температура 300 K.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Проекции независимы, поэтому перемножаем три множителя \(f(v_i)\Delta v_i\). Экспоненты
складываются в показателе.
Из предыдущей задачи \(e^{-3{,}61} = 0{,}0270\), \(e^{-0{,}90} = 0{,}405\).
\[ n = \frac{\big(0{,}0270\big)^3\cdot10\cdot10\cdot2} {\big(0{,}405\big)^3\cdot5\cdot1\cdot2} = \frac{1{,}97\cdot10^{-5}\cdot200}{6{,}66\cdot10^{-2}\cdot10}, \] \[ \boxed{n \approx 6\cdot10^{-3}} \]Проверка.
Экспоненциальный множитель — куб от прежнего: \(e^{-3\cdot2{,}71}=e^{-8{,}13}
=2{,}95\cdot10^{-4}\) ✓, а произведение ширин даёт множитель \(200/10=20\) ✓;
вместе \(5{,}9\cdot10^{-3}\) ✓.
Каждая новая «быстрая» проекция уменьшает число молекул примерно в 15 раз ✓ — согласуется
с задачей 5.2.5.
Полная скорость в числителе \(\sqrt3\cdot3000\approx5200\) м/с, в знаменателе 2600 м/с ✓ —
отношение экспонент \(\exp[-(m/2kT)(5200^2-2600^2)]=e^{-8{,}13}\) ✓, то же самое.
Ответ \(n\approx6\cdot10^{-3}\).