В толстой стенке сосуда с газом сделан прямой канал длины \(l\), соединяющий сосуд с вакуумом. Канал снабжён двумя затворами: затвор 1 на входе, затвор 2 на выходе. Сначала на время \(\tau\) открывают затвор 1; после того как он закроется, через время \(t_0\) на время \(\tau\) открывается затвор 2. Молекулы, пролетевшие канал за это время, образуют пучок. Чему равна длина пучка через время \(t\) после закрывания затвора 2?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Времена. Затвор 1 открыт с 0 до \(\tau\); затвор 2 — с \(\tau+t_0\) до \(2\tau+t_0\). Молекула, вошедшая в момент \(t_1\) и летящая со скоростью \(v\), подлетает к выходу в момент \(t_1+l/v\). Она пройдёт, если
\[ \tau+t_0 \le t_1+\frac lv \le 2\tau+t_0. \]Перебирая \(t_1\in[0,\tau]\), получаем разрешённые времена пролёта:
\[ t_0 \le \frac lv \le t_0+2\tau \quad\Longrightarrow\quad v_{\max} = \frac{l}{t_0}, \qquad v_{\min} = \frac{l}{t_0+2\tau}. \]Когда кто вылетел. Самая быстрая молекула успела прийти к самому открытию затвора 2 (она вошла в момент \(\tau\)) и вылетела в момент \(\tau+t_0\). Самая медленная вошла в момент 0 и вылетела в самый последний момент \(2\tau+t_0\).
Длина пучка через время \(t\) после закрытия затвора 2: быстрая летит уже \(\tau+t\), медленная — \(t\):
\[ L = v_{\max}(\tau+t) - v_{\min}t = \frac{l(\tau+t)}{t_0}-\frac{lt}{t_0+2\tau}. \]Приводя к общему знаменателю, получаем
\[ \boxed{L = \frac{l\,\tau}{t_0}\left(1+\frac{2t}{t_0+2\tau}\right)} \]