Задача 5.3.1диаметр молекулы
Условие
При атмосферном давлении и температуре 0 °C длина свободного пробега молекулы водорода равна 0,1 мкм. Оцените диаметр этой молекулы.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Молекула «заметает» цилиндр сечением \(\pi d^2\) (столкновение происходит, когда центры
сближаются до \(d\)). За время между столкновениями в этом цилиндре оказывается ровно
одна молекула.
\[ \pi d^2\,\lambda\,n\,\sqrt2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad
d = \sqrt{\frac{1}{\sqrt2\,\pi\,n\,\lambda}} \]
(множитель \(\sqrt2\) учитывает, что «мишени» тоже движутся). При нормальных условиях \(n = 2{,}7\cdot10^{25}\) м⁻³, \(\lambda = 10^{-7}\) м:
\[ d = \sqrt{\frac{1}{1{,}41\cdot3{,}14\cdot2{,}7\cdot10^{25}\cdot10^{-7}}} = \sqrt{8{,}3\cdot10^{-20}}, \qquad \boxed{d \approx 0{,}3\ \text{нм}} \]Проверка.
0,3 нм — типичный размер молекулы ✓ (справочное «газокинетическое» значение для водорода
0,27 нм).
Отношение \(\lambda/d = 10^{-7}/3\cdot10^{-10}\approx330\) ✓ — молекула пролетает
сотни своих размеров между столкновениями; газ действительно «разрежен».
Среднее расстояние между молекулами \(n^{-1/3}=3{,}3\) нм ✓ — вдесятеро больше размера
молекулы и в 30 раз меньше пробега; знакомая иерархия.
Размерность ✓.
Ответ \(d\approx0{,}3\) нм.