В тонком сосуде длины \(L\) и сечения \(S\) находится сухой воздух, изолированный
заслонкой от воздуха с насыщенным водяным паром. Температура дна сосуда поддерживается ниже
0 °C. Заслонку убирают. Оцените время, за которое в сосуде установится стационарное
состояние пара. Определите массу воды, замораживаемой в единицу времени в стационарном
режиме. Коэффициент диффузии насыщенного пара \(D\), его плотность \(\rho\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
РешениеСверху — насыщенный пар плотности \(\rho\), на дне лёд, где пар вымерзает
и его плотность практически нулевая. Между ними — стационарная диффузия.
Идея
Диффузия — это «случайное блуждание»: чтобы пройти расстояние \(L\), нужно время
\(\sim L^2/D\). А в установившемся режиме поток задаётся законом Фика с готовым
градиентом \(\rho/L\).
Время установления. При диффузии смещение растёт как \(\sqrt{Dt}\):
\[ L \sim \sqrt{D\,t} \quad\Longrightarrow\quad
\boxed{t \sim \frac{L^2}{D}} \]
Стационарный поток. Наверху плотность пара \(\rho\) (насыщенный), у дна пар
вымерзает и его плотность практически нулевая. Градиент \(\rho/L\), закон Фика:
Проверка.
Размерности: \(L^2/D\) — с ✓; \(DS\rho/L\) — (м²/с)(м²)(кг/м³)/м = кг/с ✓.
Числом: \(L=10\) см, \(S=1\) см², \(D=2\cdot10^{-5}\) м²/с, \(\rho=17\) г/м³
(насыщенный пар при 20 °C): \(t\sim500\) с ✓ (около 8 минут),
\(\Delta m/\Delta t = 2\cdot10^{-5}\cdot10^{-4}\cdot0{,}017/0{,}1
= 3{,}4\cdot10^{-10}\) кг/с ✓ — примерно 30 мкг в сутки; вымерзание идёт очень медленно,
что и наблюдается в опытах с холодным дном.
В ответах задачника напечатано \(t\approx L/D\) — это опечатка: такое выражение даже
по размерности не время ✓.
Ответ
\(t\sim L^2/D\); \(\Delta m/\Delta t = DS\rho/L\).