а. Температура воздуха линейно растёт с высотой: \(T = T_0+\alpha h\), причём \(\alpha h/T_0\ll1\). Длина свободного пробега молекул \(\lambda\), масса каждой молекулы \(m\), число молекул в единице объёма \(n\). Оцените плотность теплового потока на Землю. Изменится ли она, если увеличить \(n\)?
б. Во сколько раз теплопроводность водорода больше теплопроводности воздуха? Радиус молекул водорода 0,14 нм, радиус молекул азота и кислорода 0,18 нм. Температура газов одинакова.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Через площадку в каждую сторону летит \(n\bar v_z/2\) молекул, каждая несёт энергию \(\sim kT\) своего уровня:
\[ W \sim \frac{n\bar v_z}{2}\,k\left[T(h+\lambda)-T(h-\lambda)\right] = \frac{n\bar v_z}{2}\,k\cdot2\alpha\lambda, \] \[ \boxed{W \sim n\,\alpha\,\lambda\,k\sqrt{\frac{kT_0}{m}}} \]Зависит ли от \(n\)? Нет: \(\lambda\propto1/n\), поэтому произведение \(n\lambda\) от плотности не зависит. Теплопроводность газа не зависит от давления — знаменитый результат Максвелла.
б. Записав \(\varkappa \sim n\lambda k\bar v \sim k\bar v/(\pi d^2)\), видим, что
\[ \varkappa \propto \frac{\bar v}{d^2} \propto \frac{1}{\sqrt\mu\,d^2}. \] \[ \frac{\varkappa_{\text{H}_2}}{\varkappa_{\text{возд}}} = \sqrt{\frac{29}{2}}\left(\frac{0{,}36}{0{,}28}\right)^2 = 3{,}81\cdot1{,}65, \qquad \boxed{\approx 6{,}3\ \text{раза}} \]