Задача 5.3.9диффузия в смеси
Условие
Коэффициент диффузии молекул \(A\) в газах \(B_1\) и \(B_2\) равен соответственно \(D_1\) и \(D_2\), если в единице объёма этих газов содержится \(n\) частиц. Найдите коэффициент диффузии молекул \(A\) в смеси газов, в единице объёма которой содержится \(n_1\) молекул газа \(B_1\) и \(n_2\) молекул газа \(B_2\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
\(D\propto\lambda\), а обратные длины пробега складываются. Значит складываются и
обратные коэффициенты диффузии — как сопротивления, соединённые последовательно.
Пробеги. В чистом газе \(B_i\) с концентрацией \(n\): \(1/\lambda_i = n\sigma_i\), поэтому \(D_i = \tfrac13\bar v/(n\sigma_i)\).
В смеси \(1/\lambda = n_1\sigma_1+n_2\sigma_2\), значит
\[ \frac1D = \frac{3}{\bar v}\left(n_1\sigma_1+n_2\sigma_2\right) = \frac{n_1}{n D_1}+\frac{n_2}{n D_2}, \] \[ \boxed{D = \frac{n\,D_1D_2}{n_1D_2+n_2D_1}} \]Проверка.
При \(n_2=0\), \(n_1=n\) получаем \(D=D_1\) ✓; при \(n_1=0\) — \(D=D_2\) ✓.
Формула — «правило параллельных сопротивлений наоборот» ✓: чем больше мешающих молекул,
тем меньше \(D\).
Если \(n_1+n_2 = n\) (та же полная плотность), то \(1/D\) — взвешенное среднее
\(1/D_1\) и \(1/D_2\) ✓, и \(D\) лежит между \(D_1\) и \(D_2\) ✓.
Размерность ✓; ответ линейно однороден по \(n\) ✓ — удвоив все концентрации, вдвое
уменьшим \(D\).
Ответ
\(D = nD_1D_2/(n_1D_2+n_2D_1)\).